11.2 Теорема н.Е. Жуковского

Для исследования и расчета гидродинамической реакции, возникающей при обтекании профиля крыла, можно использовать предположение, что жидкость является невязкой. Теоретическое изучение гидродинамической реакции удобно проводить для случая, когда профиль крыла находится в составе плоской решетки.

Решеткой называется система бесконечного числа одинаковых профилей, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Расстояние между профилями t_p называется шагом решетки (рис. 11.4), а линия, вдоль которой расположены профили, - осью решетки. Решетки профилей находят многочисленные применения в технике. Если провести соосное с осью судового гребного винта цилиндрическое сечение его лопастей, а затем развернуть его на плоскость, то на развертке получим систему профилей в виде решетки. Аналогично как решетку можно рассматривать систему профилей в паровых и водяных турбинах, насосах т.д.

Рисунок 11.4 – Плоская решетка

Характерной особенностью обтекания бесконечной решетки является то, что величина и направление скоростей потока на бесконечности впереди и позади решетки разные. В этом состоит отличие обтекания профиля в бесконечной решетке от обтекания одиночного профиля, при котором скорости на бесконечности впереди и позади одинаковые. Отмеченное свойство позволяет использовать решетки в качестве направляющего аппарата.

При обтекании решетки наблюдается периодичность в изменении структуры потока вдоль оси решетки, так как картина обтекания всех профилей одинакова. Это позволяет в дальнейшем ограничиться рассмотрением гидродинамической реакцией, возникающей на отдельном профиле решетки.

Предполагая, что обтекание решетки происходит установившимся потоком невязкой жидкости, скорость которого на бесконечности впереди решетки , а на бесконечности позади , применим для определения гидродинамической реакции , возникающей на профиле, закон количества движения в виде

, (11.19)

где S₁ – площадь контрольной поверхности;

– площадь элементарной площадки;

– напряжения поверхностных сил;

– вектор скорости в центре элементарной площадки;

– нормальная составляющая скорости.

Для этого выделим замкнутую контрольную поверхность, ограниченную извне двумя соответствующими средними между профилями линиями тока ВС и АD, а также сечениями потока АВ и СD, параллельными оси решетки. Изнутри масса жидкости, заключенная в контрольной поверхности, ограничена поверхностью профиля. Направим ось у вдоль оси решетки, а ось х – перпендикулярно ей.

Полагая, что давление в потоке далеко перед решеткой в сечении АВ равно р₁, а далеко за решеткой в сечении СD равно р₂, и представляя векторы скорости в виде суммы их компонентов:

; , (11.20)

уравнение (11.19) можем записать в виде

. (11.21)

В уравнении (1.21) учтено, что на поверхности профиля , а силы давления на участках линий тока ВС и АD равны, но противоположно направлены, и соответствующие им интегралы в правой части (11.21) взаимно уничтожаются. Последнее слагаемое - представляет собой искомую гидродинамическую реакцию, действующую со стороны жидкости на профиль. Проектируя векторное равенство (11.21) на оси координат и учитывая знаки проекций скорости и единичных векторов нормали, получим:

(11.22)

Для установления дополнительных зависимостей между величинами, входящими в уравнения системы (11.22), воспользуемся уравнением неразрывности. Согласно этому уравнению должно соблюдаться равенство расходов жидкости через сечения АВ и СD; , т.е. векторы скорости и имеют равные проекции на ось x:

. (11.23)

Чтобы выразить связь между давлениями и , применим уравнение Бернулли для точекВ и С, расположенных на линии тока. Учитывая, что и и используя соотношения (11.23), находим

. (11.24)

Введем теперь вектор средней скорости потока на бесконечности , понимая под ним среднее геометрическое векторов и

, (11.25)

где с учетом (11.20) и (11.23) получаем

; . (11.26)

Используя формулы (11.23), (11.24) и (11.26), проекции XиY реакции можно определить из (11.22):

(11.27)

Теперь вычислим циркуляцию скорости Г по контуру АВСDA, обходя его так, чтобы внутренняя область располагалась слева. Эта циркуляция будет равна циркуляции вокруг профиля в решетке. При вычислении циркуляции вдоль участков линии тока АD и СВ следует учесть, что контурные интегралы по ним равны, и тогда окончательно получим

. (11.28)

Из этого соотношения видно, что если скорости далеко впереди и позади решетки равны, то , циркуляция вокруг профиля в решетке отсутствует, а, следовательно, в соответствии с (11.27) реакция, действующая на профиль, равна нулю. В этом случае решетка не отклоняет поток.

Воспользовавшись соотношением (11.28), получаем следующие выражения для компонентов реакции:

; (11.29)

. (11.30)

В результате, вычисляя модуль реакции находим

. (11.31)

Направление линии действия реакции можно установить, если равенства (11.29) и (11.30) соответственно умножить на и и сложить. В результате получим

. (11.32)

Это условие означает, что вектор реакции перпендикулярен вектору . Выражение (11.31) позволяет сформулировать теорему Н.Е. Жуковского для профиля в решетке: при обтекании профиля решетки на нем возникает гидродинамическая реакция, равная на единице размаха произведению плотности жидкости, циркуляции скорости вокруг профиля и средней скорости потока на бесконечности впереди и позади решетки; направление этой реакции можно определить, если вектор средней скорости повернуть на90⁰ в сторону, противоположную циркуляции.

Так как при выводе формулы (11.31) рассматривались только избыточные гидродинамические давления, то при расчетах полной величины реакции жидкости необходимо к силе прибавить вектор архимедовой силы поддержания. Эта теорема позволяет перейти к рассмотрению обтекания одиночного профиля, причем этот профиль можно рассматривать как предельный случай обтекания его в решетке при стремлении шага решетки к бесконечности. При этом скорость потока на бесконечности и позади профиля одинакова, т.е. , а циркуляция Г определяется как для профиля в безграничной жидкости, т.е. из (11.31),

. (11.33)

Теорема Жуковского, впервые опубликованная им в 1906 г., имеет фундаментальное значение при разработке крыла и теории обтекания любых тел, создающих гидродинамическую силу.

Вопросы для самопроверки

1. Для возникновения чего способствует специальная форма крыла?

2. Что называется размахом крыла?

3. Какие виды профилей крыльев, в зависимости от гидродинамических требований, существуют в настоящее время?

4. Что называется связанной системой координат?

5. Как называются компоненты, составляющие гидродинамическую реакцию, возникающую на профиле?

6. Записать формулу коэффициента гидродинамического качества.

7. Что называется решеткой профилей?

8. Сформулировать теорему Н.Е. Жуковского.