2.3 Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения л. Эйлера)

Выделим в покоящейся жидкости элементарный прямоугольный параллелепипед (рис.2.4).

Рисунок 2.4 ‒ Элементарный параллелепипед, с указанием действующих на него сил

Оси прямоугольных координат расположим параллельно его ребрам. В центре тяжести каждой грани параллелепипеда приложим силу гидростатического давления, заменяющую действие на него окружающей массы жидкости. Эта сила согласно § 2.2 будет направлена по нормали внутрь параллелепипеда. Каждая из рассматриваемых сил гидростатического давления равна произведению гидростатического давления в центре тяжести данной грани параллелепипеда на ее площадь. Обозначая гидростатическое давление на некоторых гранях параллелепипеда (точки А, В, С) через р и учитывая непрерывность изменения давления в жидкости, т.е. функциональную зависимость давления от координат точек, найдем, что давления на противоположных гранях параллелепипеда отличаются от давлений в точках А, В, С соответственно на: ; ; .

На рассматриваемый параллелепипед кроме сил гидростатического давления действуют массовые силы, непрерывно распределенные по его объему (сила тяжести и т.п.). Равнодействующую массовых сил dG можно представить как произведение ускорения g массовой силы на массу жидкости в объема параллелепипеда:

, (2.8)

где ρ – плотность жидкости.

Плотность жидкости здесь и далее принимается постоянной, т.е. жидкость рассматривается как несжимаемая. Обозначая проекции ускорения g на осях х, у, z соответственно через Х, У, Z, получим следующие выражения для проекций силы dG на эти оси:

(2.9)

Параллелепипед находится в равновесии, поэтому суммы проекций на каждую ось действующих на него сил гидростатического давления и равнодействующей массовых сил должны быть равны нулю. Запишем выражения этих сумм по каждой оси:

(2.10)

Раскрыв скобки, и разделив каждое из уравнений на массу параллелепипеда , т.е. приведя каждый член уравнения к единице массы рассматриваемого объема жидкости, получаем следующую систему уравнений равновесия жидкости:

(2.11)

Впервые эти уравнения были выведены членом Российской академии наук Л. Эйлером в 1755 г., поэтому их часто называют уравнениями Л. Эйлера.

2.4 Основное уравнение гидростатики

Умножая систему уравнений (2.11) соответственно на dx, dy, dz и складывая их, найдем:

. (2.12)

Так как , то выражение в скобках в правой части этого уравнения представляет полный дифференциал давления и, следовательно,

. (2.13)

Уравнение (2.13) является основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме.

Рассмотрим наиболее распространенный случай равновесия жидкости, заключенной в вертикальном цилиндрическом сосуде, когда она находится в покое под воздействием силы тяжести и внешнего давления р_о на ее свободной поверхности (рис.2.5).

Рисунок 2.5 ‒ Равновесие жидкости заключенной в вертикальном сосуде

Прямоугольную систему координат расположим таким образом, чтобы ось х была горизонтальной, а ось z совпадала с вертикальной осью сосуда и была направлена вверх. Тогда проекции ускорения массовой силы или составляющие единичной силы тяжести по координатным осям будут равны : X=0; Y=0 и Z= -g,

где g – ускорение силы тяжести.

Подставляя эти значения Х, У и Z в уравнение (2.13) получаем

или после интегрирования

. (2.14)

Постоянную интегрирования С находим из граничных условий, а именно: при z=z₀ значение р=р₀ и тогда

.

Подставляя значение С в уравнение (2.14), получаем

. (2.15)

Уравнение (2.15) можно переписать в следующем виде:

. (2.16)

Уравнение (2.16) называют основным уравнением гидростатики.

Из рисунка 2.5 видно, что z₀ – z= h, поэтому уравнение (2.15) можно записать в следующем виде:

. (2.17)

В уравнении (2.17) h рассматривается как величина заглубления точки под свободную поверхность жидкости. Следовательно, это уравнение является математическим выражением закона распределения полного гидростатического давления в жидкости: величина полного гидростатического давления в некоторой точке, погруженной на глубину h относительно свободной поверхности, равна сумме внешнего давления на свободной поверхности жидкости р_о и давления от веса столба жидкости с площадью основания, равной единице, и высотой, равной глубине погружения рассматриваемой точки h.

Кроме того, уравнение (2.17) показывает, что внешнее давление р_о, которое действует на поверхность жидкости, передается во все стороны объема жидкости с одинаковой интенсивностью, т.е. подтверждает закон Паскаля.

Следовательно, уравнение (2.17) также может называться основным уравнением гидростатики или уравнением давления.