3. Алгебра матриць

3.1. Визначник матриці, властивості визначника і правила його обчислення

Нехай А – довільна квадратна матриця порядку n: .

З матрицею А зв’язаний визначник (детермінант), який позначається d, D, det A або |A| [4]: d = D = det A = |A|= .

Визначник матриці є число, яке обчислюється за деякими правилами, які будуть розглянуті пізніше.

У визначнику розрізняють дві діагоналі: головну і допоміжну. Головна діагональ так, як і в квадратній матриці, складається з елементів , де і=1,2, ..., n; а допоміжна – проходить перпендикулярно до головної із верхнього правого кута визначника в нижній лівий. Порядок визначника відповідає порядку матриці, визначником якої він є.

Якщо порядок матриці дорівнює одиниці, то визначником першого порядку, що відповідає цій матриці, називається число рівне цьому елементу.

Нехай дано квадратну матрицю другого порядку:

. (3.1)

Визначником другого порядку, що відповідає цій матриці, називається число:

det A = (3.2)

Визначником третього порядку називається число

Розглянемо тепер визначник будь–якого порядку n де . Для обчислення такого визначника необхідно ввести поняття мінора і алгебраїчного доповнення.

Мінором елемента визначника n–го порядку (3.1) називається визначник (n–1)–го порядку, отриманий із початкового викреслювання i–го рядка і j–го стовпця.

Мінор елемента позначається . Тут перший індекс означає номер рядка, другий – номер стовпця, які викреслюються. Наприклад, у визначнику третього порядку d= мінором елемента є визначник третього порядку = .

Алгебраїчним доповненням елемента визначника n–го порядку (3.1) називається число

Теорема 1. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його рядка (стовпця) на відповідне алгебраїчне доповнення:

, (3.4)

або

. (3.5)

Формула (3.4) називається розкладанням визначника за елементами i–го рядка, а формула (3.5) – за елементами j–го стовпця.

Теорема 2 (наслідок теореми 1). Якщо всі елементи i–го рядка (стовпця) визначника d, крім одного, наприклад ,дорівнюють нулю, то визначник в такому випадку дорівнює добутку елемента на його алгебраїчне доповнення:

. (3.6)

Теорема 3. Сума добутків елементів будь–якого рядка або стовпця визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів паралельного рядка (або стовпця) дорівнює нулю.

Перерахуємо властивості визначника [4].

1. Визначник не змінюється при транспонуванні:

.

Це означає, що рядки і стовпці визначника рівноправні, а також те, що визначник матриці А дорівнює визначнику транспонованої матриці .

2. Якщо один з рядків або стовпців визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

3. При перестановці двох рядків або двох стовпців визначник змінює тільки знак.

4. Визначник, що містить два однакових рядка або два однакових стовпця, дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника помножити на число k0, то і визначник помножиться на це число. Інакше цю властивість можна сформулювати так: загальний множник всіх елементів деякого рядка або стовпця можна винести за знак визначника.

6. Визначник, який містить два пропорційних рядка є нульовим.

7. Якщо всі елементи і–го рядка визначника n–го порядку представлені у вигляді суми двох доданків: , то даний визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких всі рядки, крім і–го, такі ж, як і в заданому визначнику, а і–ий рядок в одному з доданків складається з елементів , а в другому – із елементів .

8. Якщо один з двох рядків визначника є сумою будь–яких інших рядків або сумою добутків будь–яких інших рядків визначника на число k, то визначник дорівнює нулю. (Це випливає з властивостей 6 і 7 визначника).

9. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного з його рядків (стовпців) добавити відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне й те ж число.

Приклад. Обчислити визначник за допомогою елементарних перетворень.

Використовуючи елементарні перетворення визначника, перетворимо в нулі всі елементи 1–го рядка, крім . Для цього, залишивши 1–й стовпець без змін, помножимо всі його елементи на (–1) і додамо послідовно до 2, 3, 4–го стовпця. Отримаємо

В отриманому визначнику третього порядку також обернемо в нулі всі елементи 3–го рядка, крім першого. Для цього, залишивши 1–й стовпець без змін, помножимо його послідовно на (–7), (–17) і додамо відповідно до другого і третього стовпця; отриманий визначник розкладемо за елементами 3–го рядка: