4.4. Точні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

4.4.1. Метод Крамера

Нехай дана система лінійних рівнянь, у якій число рівнянь дорівнює числу невідомих:

, (4.6)

де – відповідно матриця системи, стовпець вільних членів і стовпець невідомих.

Припустимо, що визначник системи

Якщо тепер замінити послідовно у визначнику d стовпці коефіцієнтів при невідомих x_j (j = 1, 2, ..., n) стовпцем вільних членів b_i то вийдуть відповідно визначники

Теорема Крамера. Система п лінійних рівнянь з п невідомими, визначник якої відмінний від нуля, завжди сумісна і має єдиний розв’язок, що обчислюється за формулами:

(4.7)

Формули (4.7) називаються формулами Крамера.

Приклад. Розв’язати за формулами Крамера систему лінійних рівнянь

1) Обчислюємо визначник системи:

2) Обчислюємо визначники, складені з коефіцієнтів при невідомих x_l, x₂, x₃:

3) Використовуючи формули Крамера (4.7), знаходимо розв’язок системи: x₁ = d₁/d = 6/6 = 1; x₂ = d₂/d = 12/6 = 2; x₃ =–12/6 =–2.

Зазначимо, що розв’язання СЛАР за формулами Крамера дуже громіздке, тому на практиці системи, зазвичай, розв’язують іншими методами, які будуть розглянуті нижче.

4.4.2. Метод Гаусса

Метод послідовного виключення невідомих або метод Гаусса розв’язання системи (4.1.) полягає в такому [1 – 4].

Припускаючи, що (це завжди можна зробити за рахунок нумерації рівнянь), множимо перше рівняння на і додаємо до другого. Одержуємо рівняння, у якому коефіцієнт при x₁ дорівнює нулю. Помноживши перше рівняння на і додавши до третього, одержуємо рівняння, що також не містить x₁. Аналогічним шляхом можна перетворити всі інші рівняння, у результаті чого виходить еквівалентна вихідній система рівнянь

. (4.8)

де – деякі нові коефіцієнти.

Припускаючи, що , і залишаючи незмінними перші два рівняння системи (4.8), перетворимо її так, щоб у кожному з інших рівнянь коефіцієнт при x₂ дорівнював нулю. Після кінцевого числа перетворень систему (4.8) можна привести до одного з таких виглядів:

, де (4.9)

, де (4.10)

, де (4.11)

Система (4.9) має єдиний розв’язок; значення х_п знаходять з останнього рівняння цієї системи, значення х_п–1 – з передостаннього, значення х₁ – з першого.

Система (4.10) має нескінченну множину рішень. З останнього рівняння можна виразити одне з невідомих (наприклад, х_k) через інші n – k невідомих , що входять у це рівняння. З передостаннього рівняння виразиться х_k–1, з першого рівняння визначиться х₁ через ті ж невідомі. В отриманих формулах невідомі можуть приймати будь–які значення.

Система (4.11) несумісна, оскільки ніякі значення невідомих не можуть задовольнити її останньому рівнянню.

Зауваження 1. Розв’язуючи СЛАР методом Гаусса, перетворення роблять не над рівняннями, а над матрицями, складеними з коефіцієнтів при невідомих і вільних членів. Так, системі (4.1) відповідає матриця

, (4.12)

системі (4.9) – «трикутна» матриця

, (4.13)

системі (4.10) – «трапецієподібна» матриця

, (4.14)

системі (4.11) – матриця

, (4.15)

яка містить рядок, в якому дорівнюють нулю всі елементи, за винятком одного, що відповідає вільному члену. Вертикальною рискою відділений стовпець, складений з вільних членів.

Приклад 1. Розв’язати СЛАР .

Складемо матрицю з коефіцієнтів при невідомих і вільних членів: .

Помноживши перший рядок на (–3) і додавши до другого рядка, одержуємо матрицю .

Помноживши перший рядок на (–5) і додавши до третього рядка, одержуємо матрицю .

Помноживши другий рядок матриці А₂ на i додавши до третього рядка, одержуємо матрицю

, якій відповідає система рівнянь .

Розв’язавши систему, знаходимо: х₃=–3, x₂=1, x₁=2. Отже, вихідна система має той же розв’язок: x₁=2, x₂=1, х₃= –3.