3.2. Обернена матриця

Квадратна матриця є оберненою по відношенню до даної квадратної матриці, якщо її множення як справа, так і зліва на дану матрицю дає одиничну матрицю [4]. Для матриці А обернена матриця позначається Згідно з визначенням

. (3.7)

Квадратна матриця є неособливою (або невиродженою), якщо її визначник не дорівнює нулю. Інакше матриця особлива (вироджена).

Теорема. Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену, необхідно і достатньо, щоб матриця А була неособливою.

Знаходження оберненої матриці називається оберненням даної матриці. Розглянемо процес перетворення матриці. Нехай

(3.8)

неособлива квадратна матриця порядку n, визначник якої не дорівнює нулю. Складемо матрицю з алгебраїчних доповнень елементів даної матриці і потім транспонуємо її. Отримана матриця називається союзною (чи приєднаною) по відношенню до матриці А і позначається .

, (3.9)

обчислюючи добутки і , отримаємо

= = dE. (3.10)

Доведемо справедливість рівняння (3.10) на прикладі матриці третього порядку. .

Тоді

Відповідно до теореми 3 (підрозділ 3.1), всі елементи добутку , крім діагональних, дорівнюють нулю. Відповідно

.

Аналогічно можна показати, що . Оскільки , причому , то З іншого боку, за визначенням оберненої матриці маємо

Зіставляючи ці рівності, отримуємо формулу для знаходження оберненої матриці: .

В загальному вигляді для квадратної неособливої матриці n–го порядку обернена матриця обчислюється за формулою

(3.11)

елементи вихідної і оберненої матриці пов’язані співвідношенням .

Приклад. Знайти обернену матрицю для матриці

1. Знайдемо визначник даної матриці А:

Оскільки d0, то обернена матриця існує.

2) Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

3) Складаємо союзну матрицю

4) Обчислюємо обернену матрицю

Перевірка:

Якщо порядок матриці А невеликий, то вказаний метод обернення матриці потребує складної обчислювальної роботи. Існують інші методи обернення матриці, які ми розглянемо нижче.

Насамкінець зазначимо, що знаходження оберненої матриці має виключно важливе значення для розв’язування систем лінійних рівнянь.

3.3. Трикутні матриці

Розкладання матриці на добуток двох трикутних матриць

Квадратна матриця називається трикутною, якщо елементи, розташовані вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Якщо дорівнюють нулю елементи, що розміщені вище головної діагоналі, то матриця називається нижньою трикутною; наприклад, така матриця Якщо ж дорівнюють нулю елементи, що розміщені нижче головної діагоналі, то матриця називається верхньою трикутною; наприклад, така матриця

Визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів. Якщо трикутна матриця, то .

Обернена матриця неособливої трикутної матриці є також трикутна матриця того ж розміру і структури.

Якщо квадратна матриця має ненульові діагональні мінори (так називаються мінори визначника матриці, у яких на головних діагоналях стоять діагональні елементи матриці), іншими словами то її можна розкласти на добуток двох трикутних матриць (верхньої і нижньої). Це розкладання єдине, якщо діагональним елементам одної із трикутної матриць наперед надати ненульове значення (наприклад, одиничне).

Нехай А=СВ, де С – нижня трикутна матриця, а В – верхня трикутна матриця з діагональними елементами, що дорівнюють 1.

На прикладі матриці четвертого порядку отримаємо формули, що виражають залежність між елементами матриць А, В і С:

Виконаємо множення і порівняємо отримані елементи матриці СВ відповідним елементам матриці А:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

З рівнянь (1) – (16) знаходимо елементи і трикутних матриць В і С в такому порядку:

1. 1–й стовпець матриці C [формули (1)– (4)]:

2. 1–й рядок матриці В [формули (5), (9), (13)]:

3. 2–й стовпець матриці C [формули (6),(7),(8)]:

4. 2–й рядок матриці В [формули (10), (14)]:

5. 3–й стовпець матриці C [формули (11),(12)]:

6. 3–й рядок матриці В [формула (15)]:

7. 4–й стовпець матриці C [формула (16)]:

Тут римські цифри вказують послідовність, в якій повинні визначатися елементи . При даному розкладанні спочатку обчислюють значення стовпців, а потім рядків.

Аналогічно можна розкласти на добуток двох трикутних квадратну матрицю будь–якого порядку n. Вище ми вказали правило перетворення матриці на добуток двох трикутних для випадку . Якщо ж , то в першу ж чергу потрібно обчислити елементи рядків матриці В за формулами

(3.12)

а потім елементи стовпців матриці С за формулами

(3.13)

Матриця А була представлена в вигляді добутку ВС двох трикутних матриць, де С – нижня, В – верхня трикутна матриця. Але такий порядок співмножників не є обов’язковим, таким чином можна представити матрицю А в вигляді добутку ВС і отримати аналогічні формули для елементів трикутної матриці В і С.