1.4. Основні етапи розв’язання прикладних математичних задач

Метод математичного моделювання – ефективний засіб дослідження реальних об'єктів та явищ. Але з їх ускладненням ускладнюються й математичні моделі, розрахунки яких вимагають величезної обчислювальної роботи. Це стримувало використання моделей в науці й техніці, оскільки математичні задачі розв'язували вручну. Засто­сування швидкодіючих та потужних комп’ютерів для розв'язування складних прикладних задач сформувало новий спосіб проведення теоретичних досліджень на базі математичних моделей – обчислювальний (або математичний) експери­мент. Його основою є математичне моделювання, теоретичною базою – прикладна математика, технічною – комп’ютер.

Поняття розв’язання задачі за допомогою комп’ютера містить в собі набагато більше ніж просто обчислення на комп’ютері. Обчислювальний експеримент складається з восьми основних етапів (Рис. 1.1.)

1. Поставлення задачі і визначення кінцевих цілей – найважливіший етап розв’язання задачі. На ньому реалізується вибір загального підходу до розв’язання, визначаються основні критерії, яким повинна задовольняти розроблювана система і наводиться формальний математичний опис задачі. На цьому етапі необхідне глибоке поняття задачі.

2. Складання математичної моделі об’єкта дослідження. Для цього вивчають суть досліджуваного явища або процесу, з’ясовують його склад, закономірності, особливості і взаємозв’язки окремих його частин. Виділяють основні і другорядні фактори. Другорядними на початковому етапі досліджень нехтують, а основні – записують у вигляді математичних формул. Одночасно встановлюють межі застосування побудованої моделі, оскільки жодна математична модель неадекватна реальності. У прикладних задачах побудова математичної моделі (ММ)– один з найскладніших і найвідповідальніших етапів обчислювального експерименту, оскільки вимагає поєднання математичних і спеціальних знань. Тому над її створенням працюють спільно математики і спеціалісти тієї галузі, до якої належить досліджуваний об'єкт.

Після побудови ММ приступають до її теоретичного аналізу: досліджують, чи коректно поставлено задачу, чи має вона розв'язок, єдиний він чи ні тощо. Часто розв'язувати складні прикладні задачі починають і без вичерпного аналізу їх математичних властивостей, оскільки для такого аналізу можна затратити час, який перевищує відведений для розв'язування прикладної задачі термін.

3. Дискретизація ММ – викликана конструктивними особливостями цифрових комп’ютерів, що мають обмежену розрядну сітку і пам’ять. Перехід від континуальної до дискретної ММ полягає у заміні функцій безперервного аргументу функціями дискретного аргументу. При цьому, наприклад, інтеграл змінюється кінцевою сумою, похідні – різницевим відношенням тощо. Внаслідок цього дістають систему з більшою кількістю рівнянь з більшою кількістю змінних.

4. Розробка методу розв’язання ММ. Як правило, прикладні задачі описуються моделями, розв’язання яких не можна знайти у вигляді аналітичних формул. Тоді з відомих чисельних методів вибирають найбільш ефективний або розробляють новий метод розв’язання моделі та записують у вигляді алгоритму. Оскільки для однієї задачі можна скласти, як правило, декілька алгоритмів слід визначити критерії оцінювання їх якості. Оцінюючи ефективність чисельного методу, враховують такі його якості, як універсальність, простота організації обчислень, контроль точності, швидкості збіжності та стійкості обчислювального процесу.

5. Програмування на комп’ютері. На цьому етапі складають програму для реалізації розробленого алгоритму або використовують стандартні пакети прикладних програм, що призначені для розв’язування певного класу математичних задач.

6. Налагодження програми. Тут виконують тестування програми з метою виявлення помилок. Для тестової задачі підбирають такі вхідні дані, які дозволять надійно судити про достовірність розвитку.

7. Обчислювальні експерименти. Використовуючи налагоджену програму виконують повномасштабні виробничі розрахунки на комп’ютері. Тут також передбачається дослідження поведінки об’єкта дослідження (ОД) в умовах, де натурні експерименти ще не проводились або зовсім неможливі.

8. Інтерпретація отриманих даних. Отримані результати розрахунків всебічно аналізуються, внаслідок цього або отримується повна відповідність для розв’язуваної задачі, або виявляються деякі особливості поведінки ОД, що потребують нових комп’ютерних експериментів. При цьому часто виникає необхідність зміни у поставленні задачі, що приводить до повного повторення усіх вищевказаних етапів розв’язування задачі.

Таким чином результат будь–якого обчислювального експерименту складає триада: "модель–метод–програма". З розгляду ланцюга розв’язування задач на комп’ютері можна зробити такі висновки:

1. комп’ютер сам задач не розв’язує, а лише виконує наперед задану послідовність обчислень;

2. використання комп’ютера не звільняє дослідника від всебічного і скурпульозного осмислення своєї роботи та глибокого вивчення ОД.