4.5. Ітераційні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

4.5.1. Метод ітерацій

Наближені методи розв’язання СЛАР дозволяють отримувати значення коренів системи з заданою точністю у вигляді межі послідовності декількох векторів. Процес побудови такої послідовності називається ітераційним (таким, що повторюється). Ефективність використання наближених методів залежить від вибору початкового вектора і швидкості сходимості процесу [1, 3, 4, 5].

Нехай дана система n лінійних рівнянь з n невідомими:

(4.50)

Запишемо систему (4.52) в матричному вигляді:

(4.51)

де

Представимо, що діагональні елементи , виразимо через перше рівняння системи, – через друге рівняння тощо. В результаті отримаємо систему, еквівалентну системі (4.52):

(4.52)

Позначимо де Тоді система (4.52) запишеться так:

(4.52')

Система (4.52') називається системою, приведеною до нормального вигляду.

Введемо позначення

Запишемо систему (4.52') в матричній формі:

або

(4.53)

Розв’яжемо систему (4.53) методом послідовних наближень. За нульове наближення візьмемо стовпець вільних членів:

– нульове наближення,

Далі побудуємо матриці–стовпці

– перше наближення;

– друге наближення

Взагалі, будь–яке – те наближення розраховують за формулою

(4.54)

Якщо в послідовність наближень має границю , то ця границя є розв’язком системи (4.52), оскільки в силу властивостей границі , тобто .

Приклад 1. Методом ітерації з точністю до 10^–1 розв’язати систему

∆ 1) Приведемо систему до нормального вигляду:

2) Будуємо послідовні наближення. Нульові наближення:

Перше наближення:

Друге наближення:

Третє наближення:

Таким чином, і з точністю до 10^–1 отримуємо

Приклад 2. Методом ітерації з точністю до 10^–3 розв’язати систему

(*)

1) Приведемо систему до нормального вигляду:

або

Зазначимо, що лінійну систему можна привести до нормального вигляду також записавши коефіцієнти при у відповідних рівняннях системи (*) у вигляді де – число, близьке до коефіцієнта при відповідному невідомому і на яке легко розділити коефіцієнти при невідомих і вільні члени.

Наприклад:

(в першому рівнянні),

(в другому рівнянні),

(в третьому рівнянні).

Перепишемо систему (*) так:

Матриця і вектор приймають вигляд

2) Послідовно знаходимо

Таким чином, з точністю до 10^–3 отримаємо

4.5.2. Умови збіжності ітераційного процесу

Нехай дана приведена до нормального вигляду система лінійних рівнянь Умова збіжності ітераційного процесу така: якщо сума модулів елементів рядків або стовпців менше одиниці, то процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв’язку незалежно від вибору початкового вектора.

Отже, умову збіжності можна записати так:

або .

Приклад. Для системи

або

ітераційний процес збіжний, оскільки

і

Аналогічно можна було б перевірити виконання збіжності, взявши суми модулів елементів рядків.

Процес ітерації свідомо збігається, якщо елементи матриці задовольняють нерівності де – кількість невідомих даної системи. В даному прикладі і всі елементи

Збіжність ітераційного процесу зв’язана з нормами матриці такими співвідношеннями. Якщо виконується одна з умов:

або

або

то процес ітерації лінійної системи зводиться до єдиного розв’язку.

Так, в розглянутому вище прикладі норма

тобто ітераційний процес збігається.