2.2. Абсолютна та відносна похибки

Нехай А – точне число, а а – його приблизне значення. Якщо а<А, то кажуть, що число а є наближеним значенням числа А з недостачею, якщо а >А – наближеним значенням з надлишком.

Різницю А–а називають помилкою (або похибкою). Як правило, величину похибки А–а і навіть її знак виявити неможливо, оскільки невідомо число А. Тому замість самої похибки використовується верхня межа її абсолютної величини.

Абсолютною похибкою наближеного числа а називається величина , яка задовольняє нерівність

. (2.1)

Абсолютна похибка – це верхня межа відхилення точного числа А від наближеного:

. (2.2)

Нерівність (2.2) часто записують так:

. (2.3)

Як абсолютну похибку приймають по можливості найменше число. Абсолютна похибка відображає лише кількісну сторону похибки, тобто не показує, добре чи погано виконані вимірювання або розрахунки. Для того, щоб оцінити якість виконаних розрахунків чи вимірювань, вводять поняття відносної похибки.

Відносною похибкою наближеного числа а називається величина , яка задовольняє нерівність

(2.4)

Зокрема, в якості відносної похибки можна прийняти

(2.5)

а відношення (2.3) представити в вигляді

(2.6)

2.3. Вірні значущі цифри

Під час розв’язування задач часто ставиться умова: отримати результат з точністю до 0,1; 0,001 тощо. Може скластись враження, що точність розрахунків визначається числом десяткових знаків після коми. Однак це неправильно. Точність розрахунків визначається числом цифр результату, які заслуговують довіри [4].

Значущими цифрами числа називаються всі його цифри, крім нулів, розташованих лівіше першої відмінної від нуля цифри. Нулі в кінці числа – завжди значущі цифри (в протилежному випадку їх не пишуть).

Приклад 1. Числа 0,001604 і 30,500 мають відповідно 4 і 5 значущих цифр.

При написанні цілих чисел можуть зустрічатися деякі точності. Так, якщо ми хочемо показати, що у числа 400 000 останніх три нуля незначущі, то дане число потрібно записати у вигляді двох співмножників: 40010³ або 40,010⁴, або 0,40010⁶. Остання форма запису називається нормалізованою і є переважною. В цьому випадку говорять, що 400 є мантиса числа, а 6 – його порядок.

Нагадаємо, що кожне додатне число, може бути представлене у вигляді .

Цифра наближеного числа а називається вірною значущою цифрою (або просто вірною), якщо виконується нерівність

(2.7)

тобто, якщо абсолютна величина різниці не більше 1/2 десяткового розряду, в якому стоїть .

Оскільки завжди замість розглядається абсолютна похибка то нерівність (2.7) часто записують так:

(2.8)

оскільки при виконанні цієї нерівності виконується і нерівність (2.7).

З іншого боку, якщо задано число n вірних знаків наближеного числа а, то за абсолютну похибку можна взяти

(2.9)

Якщо нерівність (2.8) не виконується, то цифра - сумнівна. Якщо цифра вірна – то всі попередні (зліва від неї) цифри – також вірні.

Приклад 2. Число а = 23,10 отримано округленням деякого точного числа. Скільки вірних цифр містить число а?

При округленні чисел за правилом парної цифри абсолютна похибка не може перевищити половини одиниці останнього розряду, що залишаємо. Це означає, що у округленого числа, всі цифри, що залишилися, є вірними. В даному випадку, всі чотири цифри вірні, а похибка

Приклад 3. Число а = 23,071937 містить п’ять вірних цифр. Визначити його абсолютну похибку.

Скористаємося формулою (2.9). Тут m=1, n=5 отже, за абсолютну похибку можна прийняти .

Приклад 4. Абсолютна похибка числа а=705,1978 складає Визначити, які цифри числа а є вірними і округлити число а, залишивши лише вірні цифри.

Скористаємося формулою (2.8). Тут m=2, , а n визначають з нерівності Безпосередньою перевіркою переконуємося, що найбільше n, яке задовольняє цю нерівність, дорівнює 3 і цифра 5 є вірною: , а цифра 1 – сумнівною: .

Звідси випливає, що число а=705,1978 має три вірних цифри. Округляємо його до трьох цифр: а₁ =705. При цьому сумарна похибка дорівнює сумі вхідної похибки і похибки округлення: , так що можна записати:

В останній час частіше використовують поняття вірних значущих цифр в широкому розумінні. Це розуміння зв’язано з найпростішим правилом округлення.

Цифра наближеного числа

є вірною значущою цифрою в широкому розумінні, якщо виконується нерівність

(2.10)

тобто, якщо абсолютна похибка числа а не перевершує одиниці десяткового розряду, в якому розташовано .