1.5. Контрольні питання

1. Поясніть роль математичного моделювання на сучасному етапі розвитку суспільства.

2. Наведіть та коротко охарактеризуйте структуру похибки розв’язку задачі.

3. Наведіть і дайте стислу характеристику основних етапів розв’язання прикладних математичних задач.

4. Дайте означення поняття стійкості задачі. Наведіть відповідні приклади.

5. Дайте означення поняття коректності задачі. Наведіть приклади коректно та некоректно поставлених задач.

6. Наведіть та охарактеризуйте основні етапи розв’язання прикладних математичних задач.

7. Поясніть які з етапів розв’язання прикладних математичних задач можна виконувати на комп’ютері, а які потребують творчого підходу.

2. Елементарна теорія похибок

2.1. Джерела і класифікація похибок

Розв’язання більшості практичних задач з визначеним ступенем умовності можна представити у вигляді двох послідовних етапів [4]:

1. математичний опис проблеми, що розглядається;

2. розв’язання сформульованої математичної задачі.

На першому етапі зустрічаються два характерних джерела похибки. По–перше, реальні процеси не завжди можна описати математично, а спрощення, дозволяють отримати лише більш–менш ідеалізовані моделі. По–друге, вхідні параметри, отримані, як правило, з експерименту, неточні, що дозволяє отримати лише приблизний результат.

Згідно з цим сумарна похибка математичної моделі і початкових даних об’єднується у похибку вихідної інформації. Якщо мати на увазі незалежність цієї похибки від другого етапу розв’язання задачі, її часто називають неусувною похибкою.

Отримання точного розв’язку математичної задачі (другий етап) незалежно від того, чи будується воно вручну або на комп’ютері, як правило, неможливо. Так, наприклад, лише для дуже обмеженого класу диференціальних рівнянь можна отримати точний розв’язок. Тому в практичних розрахунках використовуються методи отримання наближених розв’язків – в першу чергу чисельних.

Така вимушена заміна точного розв’язку наближеним і породжує похибку методу або, як її часто називають, похибку апроксимації.

У процесі розв’язання задачі виконується округлення вхідних даних, проміжних і кінцевих результатів. Ці похибки, а також похибки, які з’являються в результаті виконання арифметичних операцій над наближеними числами, в тій чи іншій мірі переносяться на результат розв’язку і утворюють так звану обчислювальну похибку (або похибку округлення).

У зв’язку зі сказаним під час поставлення задачі або вказують потрібну точність розв’язку (тобто задають похибку, максимально допустиму в процесі усіх розрахунків), або лише обмежуються потребами підрахунку сумарної похибки результату. Тому при роботі з наближеними числами необхідно вміти розв’язувати такі задачі [4]:

1. давати математичні характеристики точності наближених чисел;

2. знаючи ступінь точності вихідних даних, оцінювати ступінь точності результату;

3. вибирати вихідні дані з таким ступенем точності, щоб забезпечити задану точність результату;

4. оптимальним чином будувати процес розв’язання, щоб не вико­нувати розрахунків, які не впливають на точні цифри результату.