4.5.3. Оцінювання похибки методу ітерацій

Якщо задано допустиму похибку обчислень і – вектор точних значень невідомих лінійної системи, а є k–е наближене значення невідомих, обчислених методом ітерації, то для оцінювання похибки методу застосовується формула

, (4.55)

де – одна із трьох норм матриці ; – та ж норма вектору , а k – число ітерацій, необхідне для досягнення заданої точності. При цьому передбачається, що послідовні наближення (де j=0, 1, …; k, i=1, 2, …, n) обчислюються точно, в них відсутні похибки округлення.

Приклад. Показати, що для системи

ітераційний процес збігається і визначити, скільки ітерацій потрібно виконати, щоб знайти невідомі з точністю до 10^–4.

Розв’язання

1) Приведемо систему до нормального вигляду

або

2) Матриця системи

Застосовуючи норму , отримаємо =max(0,1;0,51;0,76)=0,76<1. Отже, ітераційний процес для даної системи збігається.

3) Маємо .

4) Застосовуючи формулу (4.55), знаходимо

Теоретична оцінка числа ітерацій, необхідних для забезпечення заданої точності, практично виявляється завищеною [4].

4.5.4. Метод Зейделя

Метод Зейделя є модифікацію методу послідовних наближень. В методі Зейделя при обчисленні –го наближеного невідомого враховуються уже знайдені раніше –і наближення невідомих .

Нехай дана лінійна система, приведена до нормального вигляду:

(4.56)

Вибираємо довільно початкові наближення невідомих і підставляємо в перше рівняння системи (4.56):

отримуємо перше наближення і підставляємо в друге рівняння системи (4.56):

отримуємо перші наближення і і підставляємо в третє рівняння системи (4.56):

і так далі.

Насамкінець

Аналогічно будуємо другі, треті і наступні ітерації. Таким чином, припустимо, що k–е наближення відоме. Методом Зейделя будуємо (k+1)–е наближення за формулами

де k=0, 1, 2, ..., n.

Приклад. Методом Зейделя з точністю до 10^–3 розв’язати систему

Розв’язання

1) Приведемо систему до нормального вигляду:

або

2) За нульові наближення візьмемо відповідні значення вільних членів:

3) Будуємо ітерації за методом Зейделя.

Перші наближення:

Другі наближення:

Розв’язок цього прикладу приведено в табл. 4.12.

Таблиця 4.12

Номер ітерації	х1	х2	х3	Номер ітерації	х1	х2	х3
0	0,19	0,97	–0,14	5	0,2467	1,1138	–0,2237
1	0,2207	1,0703	–0,1915	6	0,2472	1,1143	–0,2241
2	0,2354	1,0988	–0,2118	7	0,2474	1,1145	–0,2243
3	0,2424	1,1088	–0,2196	8	0,2475	1,1145	–0,2243
4	0,2454	1,1124	–0,2226

Побудова ітерації закінчується, коли досягнутий заданий ступінь точності, тобто коли ми отримали однакові значення в двох ітераціях підряд. В даному прикладі це ітерації 7 і 8.

Остаточна відповідь: