4. Закон сохранения массы. Интегральная и локальная формы.

Суммарное количество массы в изолированной системе неизменно:

M = const, М = 0, .

Интегральная форма (материальный баланс)

Изменение массы, в некотором фиксированном объеме V, вызывается разностью прихода и отвода массы из выделенного объема:

,

Через массовый расход :

.

Для i-го компонента:

,

где - масса компонента i, образующаяся в единице объема за единицу времени (источник массы, учет, например, химической реакции).

Локальная форма сохранения массы

Массовый расход среды, входящий в объем dV в направлении оси x через левую площадь dydz (рис.2.4.) , а выходящий через противоположную грань dydz

.

Изменение массы в объеме dV за счет переноса по направлению x:

.

Суммарное изменение массы в объеме dV равно сумме изменений по всем трем осям:

.

Изменение массового расхода в объеме dV может быть только за счет изменения плотности:

. (2.34.)

Тогда получим:

+ = 0, (2.35.)

или упрощенно:

. (2.36.)

Это и есть уравнение неразрывности для сжимаемой среды. Если плотность постоянна:

, (2.37.)

– уравнение неразрывности для несжимаемой среды.

В многокомпонентной системе закон сохранения i-го компонента:

, (2.38.)

где - изменение массы компонента i за счет источника.

В общем случае закон сохранения массы применительно и единичному объему можно сформулировать следующем образом:

Для многокомпонентных систем уравнение записывают обычно для потока вещества и тогда вместо плотностей используются мольные концентрации компонентов:

, (2.39.)

где - мольная масса компонента i.

При отсутствии источника массы, с учетом выражения для потока компонента, нестационарная конвективная диффузия записывается уравнением:

. (2.40.)

Распишем уравнение (2.40.)

(2.41.)

При допущении = const, = 0 и равенстве нулю среднемассовой скорости получим:

, (2.42.)

– это и есть второй закон Фика.

Для стационарной диффузии получим:

= 0.

5. Закон сохранения энергии. Интегральная форма. Уравнение Бернулли для идеальной изотермической жидкости.

Изолированная система не обменивается с окружающей средой массой и энергией, поэтому суммарная энергия этой системы постоянна:

E = const, E = 0, .

Рассмотрим закон сохранения энергии для открытой системы.

Интегральная форма закона сохранения энергии (первый закон термодинамики)

или

- штрих означает, что E отнесена к единице массы. = - работа совершаемая над системой. Энергия системы складывается из внутренней U, кинетической E_к и потенциальной E_п. Если потенциальная энергия обусловлена полем силы тяжести, то :

.

Работа может совершаться движущейся средой по преодолению внешнего давления и трения:

, (2.46.)

тогда с учетом (2.45.) и (2.46.) второе уравнение (2.44.) можно переписать:

. (2.47.)

Рассмотрим частный случай закона сохранения энергии. Для идеальной изотермической жидкости (трение отсутствует, теплообмена с окружающей средой тоже нет) можно записать:

= 0, = 0, = 0,

тогда получим:

. (2.48.)

После интегрирования (2.48.) имеем:

+ +gh = const. (2.49.)

Это и есть уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения механической энергии единичной массы среды.