7. Локальная форма закона сохранения энергии. Уравнение Фурье-Кирхгофа.
=
Переносимая
субстанция
– энергия единичного объема
.
Тогда:
. (2.50.)
На практике при рассмотрении процесса переноса тепла в изобарных условиях можно пренебречь работой по преодолению сил трения и изменением механической энергии. Тогда можно записать:
. (2.51.)
В
этих условиях
.
Раскрывая выражение
получим:
. (2.52.)
В
частном случае ламинарного движения и
постоянства теплофизических характеристик
(
),
это уравнение упрощается:
, (2.53.)
где
- коэффициент молекулярной
температуропроводности. Распишем
уравнение (2.53.):
уравнение Фурье-Кирхгофа.
При теплопереносе в неподвижной среде (w = 0) получим уравнение нестационарной теплопроводности Фурье:
. (2.54.)
Для случая стационарного переноса тепла получено:
=
0. (2.55.)
Решение дифференциальных уравнений, полученных на основе закона сохранения совместно с условиями однозначности, позволяет получить поля температуры и потока тепла в аппарате.
8. Закон сохранения импульса. Уравнение Навье - Стокса. Частные Случаи.
Суммарный импульс изолированной системы есть величина постоянная:
=
const,
,
.
Если же система находится под воздействием внешних сил, то производная от импульса системы по времени равна результирующей силе, действующей на систему.
Интегральная форма закона сохранения импульса
Изменение импульса в фиксированном объеме V вызывается разностью прихода и отвода импульса, а также источником импульса. Как известно, импульс является величиной векторной:
, (2.56.)
где
,
- приход и отвод импульса из объема V
за время t,
- количество импульса, образующегося в
единице объема за единицу времени
(источник импульса).
Локальная форма закона сохранения импульса
Аналогично законам сохранения массы и энергии можно получить локальную (для точки) форму закона сохранения импульса:
Отличие
будет заключаться лишь в векторной
природе переносимой субстанции –
импульса единичного объема
:
, (2.57.)
где
- ускорение. Если массовая сила есть
сила тяжести, то
=
.
Расчленив
тензор потока импульса
на
конвективную часть и тензор вязких
напряжений
в
по (2.27.), можно представить общий вид
уравнения движения:
. (2.58.)
Здесь
Допустив
(молекулярная вязкость) для ламинарного
движения получим уравнение Навье -
Стокса:
. (2.59.)
Разделив уравнение (2.59.) на получим привычный вид уравнении Навье – Стокса:
. (2.60.)
Развернутое уравнение для оси x в декартовой системе координат имеет следующий вид:
(2.61.)
Остальные уравнения по осям y и z имеют аналогичный вид: индексы меняются по кругу
Рассмотрим частные случаи уравнения Навье – Стокса.
Если
среда идеальная, то
= 0 и получим:
, (2.62.)
– уравнение движения идеальной жидкости - уравнение Эйлера
Если
среда находится в равновесии, то
и получим:
,
, (2.63.)
– уравнение равновесия Эйлера
9. Исчерпывающее описание процессов переноса. Условие однозначности. Пограничные слои.
Дифференциальные уравнения второго порядка с частными производными, полученные на основе уравнений переноса и законов сохранения массы, энергии и импульса, а также условия однозначности к ним (начальные и граничные условия) составляют исчерпывающее математическое описание процессов переноса. Проблема заключается лишь в математической сложности решения этих задач.