6.5 Расчет контактных напряжений в очаге деформации при горячей прокатке тонких широких полос

а) Основные допущения [25]

Горячую прокатку тонких широких полос производят в чистовых группах рабочих клетей широкополосных станов.

Как и при холодной прокатке, очаги деформации в этих клетях относятся к четвертому типу по классификации раздела 4 – низкие очаги, у которых соотношение .

Поэтому некоторые из допущений, принятых для расчета контактных напряжений на станах холодной прокатки, используют и для горячей прокатки тонких широких полос (см. п. 6.3, а).

Первое из этих допущений.

Напряженное и деформированное состояние полосы считают плоскими, уширением пренебрегают, контактные напряжения – нормальные p_x и касательные τ_x – принимают постоянными по ширине, а сжимающие σ_x – постоянными и по ширине, и по толщине полосы в каждом сечении с координатой x в очаге деформации. Таким образом, эти напряжения считают функциями только одной переменной величины: толщины полосы h_x: p_x(h_x), τ_x(h_x), σ_x(h_x). Чем шире и тоньше прокатываемая полоса, тем в большей степени её реальное напряженно-деформируемое состояние соответствует указанному допущению. При прокатке широких полос (b ≥1000 мм) толщиной более 10 мм (например, в первой клети 6^ти клетевого ШПСГП “1700”, толщина полосы на входе h₀=25 мм, на выходе h₁=10-12 мм), строго говоря, в поперечных сечениях очага деформации сжимающие напряжения σ_x не постоянны по толщине. Однако насколько значительна неравномерность σ_x по толщине, измерить экспериментально невозможно, т.к. в условиях действующего стана подобные измерения нереальны, а в лаборатории создать условия, адекватные условиям промышленного процесса, также невозможно.

Поэтому допущение о постоянстве напряжений σ_x по толщине можно рассматривать как рабочую гипотезу, позволяющую получить инженерные формулы для расчета контактных напряжений в очагах деформаций и усилий прокатки в рабочих клетях ШПСГП.

О правомерности этой гипотезы можно судить путем сопоставления расчетных и измеренных усилий прокатки.

Согласно данным работы [25], использование этой гипотезы обеспечило диапазон погрешностей расчета усилий на ШПСГП 0,2-11,1% (среднее значение 4,8%). Для инженерных расчетов такие расхождения расчетных и измеренных усилий вполне приемлемы, тем более с учетом того обстоятельства, что другие известные методики расчета дают значительно бóльшие погрешности.

Второе допущение исходит из того, что угол захвата во всех рабочих клетях чистовой группы ШПСГП, кроме первой, не превышает 7-8^о, а в первой клети α≤10-12⁰. Следовательно, длина дуги контакта составляет 2-3% от длины окружности бочки рабочего валка. Поэтому дуга контакта полосы и валков, как и при холодной прокатке, может быть аппроксимирована прямыми отрезками AB и BC, как показано на рис. 6.2, а.

Третье допущение состоит в том, что при расчете напряжений, возникающих в очагах деформации рабочих клетей чистовых групп ШПСГП, необходимо, как и при холодной прокатке, учитывать специфику напряженного состояния полосы в упругих участках.

Особенно это важно при горячей прокатке наиболее тонких стальных полос (h=0,8-1,5 мм), которые ранее производили только на станах холодной прокатки. В последних клетях ШПСГП при производстве полос указанных толщин нормальные контактные напряжения достигают значений 1000-1400 МПа, характерных для процесса холодной прокатки. Это приводит к значительному взаимному упругому сплющиванию валков и полосы, в результате чего протяженность упругих участков увеличивается до 10-20% от общей длины очага деформации. Так как в этих участках не действует условие пластичности, контактные напряжения в них следует рассчитывать, заменив это условие на уравнения упругости (6.7) и (6.8), как это описано выше для упругих участков очага деформации процесса холодной прокатки.

Кроме указанных трех допущений, общих для процессов холодной и горячей прокатки тонких широких полос, при расчете контактных напряжений в очаге деформации ШПСГП принимают четвертое допущение, специфическое только для горячей прокатки. Оно касается изменения касательных напряжений τ_x между полосой и валками по длине очага деформации.

Этот вопрос проанализирован в п.5.3 главы 5, где показано, что бóльшую часть протяженности очага деформации рабочей клети ШПСГП занимает зона прилипания, в которой, вместо трения скольжения, между полосой и валками имеет место трение покоя, характеризуемое тем, что касательные напряжения τ_x зависят не от коэффициента трения скольжения, а от сопротивления чистому сдвигу материала полосы τ_S.

Точные координаты границ зоны прилипания определить сложно: эти координаты в каждом очаге деформации могут быть разными, в зависимости от величин обжатия, температуры полосы, уровня нормальных напряжений и т.д.

Однако, учитывая то обстоятельство, что и пластическая область, и зона прилипания занимают преобладающую часть длины очага деформации рабочей клети ШПСГП, можно принять в качестве рабочей гипотезы следующее четвертое допущение: при горячей прокатке границы зоны прилипания совпадают с границами пластической области очага деформации. Опыт показал, что указанное допущение не приводит к существенным расхождениям расчетных и измеренных усилий прокатки, т.е. практически не снижает точность энергосиловых расчетов ШПСГП, но существенно упрощает методику.

На основании этого допущения при расчете контактных напряжений приняты следующие схемы распределения по длине очага деформации скоростей полосы и касательных напряжений, являющихся по физическому смыслу напряжениями трения (см. рис. 6.16):

1. На первом упругом участке длиной x_1упр скорость поверхностного слоя полосы v_xпов меньше, чем окружная скорость бочки валка v_в. При этом величина v_xпов под воздействием напряжения трения τ_x со стороны валка, направленных вперед, увеличивается и в конце первого упругого участка (на границе с пластическим) достигает значения v_xпов=v_в. Таким образом, на всем протяжении первого упругого участка касательные напряжения изменяются по закону трения скольжения:

, (6.59)

где μ_i – коэффициент трения скольжения;

p_x – нормальное контактное напряжение.

в)

б)

а)

Рис. 6.16 Схема очага деформации i-ой рабочей клети (а), скорости полосы (б) и касательных напряжений между полосой и каждым валком (в), принятые в качестве допущений для расчета контактных напряжений при горячей прокатке тонких широких полос: ox – ось прокатки, h_i-1, h_i –толщина полоса на входе и на выходе, h_н – толщина полосы в нейтральном сечении, l_сi – длина очага деформации, x_1упр, x_2упр – длины 1^го и 2^го упругих участков, x_{пл.отст.}, x_{пл.опер.} – длины зон отставания и опережения пластического участка, v_в – окружная скорость бочки валков, v_i-1,v_i – скорость полосы на входе в i-ю клеть и выходе из нее, v_xпов – скорость поверхностного слоя полосы, v_xср – средняя по сечению скорость полосы, τ_x – касательные напряжения в контакте полосы с валками, τ_S – сопротивление чистому сдвигу материала полосы.

2. На границе между 1^м упругим и пластическим участками действие закона трения скольжения прекращается, т.к. τ_x достигло своего максимального значения: τ_x= τ_Si – сопротивления чистому сдвигу материала полосы.

По мере дальнейшего движения полосы вдоль пластического участка очага деформации напряжения трения изменяются в соответствии с закономерностями зоны прилипания, в которой трение скольжения перешло в трение покоя, характеризуемое отсутствием скольжения, т.е. равенством:

v_xпов= v_в. (6.60)

Однако средняя по сечению скорость полосы v_xср вдоль всего очага деформации непрерывно растет из-за обжатия, в соответствии с законом постоянства секундного объема (см. график “б” на рис. 6.16). В результате разность скоростей (v_в-v_xср) при движении полосы через очаг деформации изменяется согласно заштрихованной области на графике “б” рис. 6.16.

Логично допустить, что напряжения трения покоя τ_x(x) находятся в прямой зависимости от указанной разности скоростей, которая является своеобразным «скоростным напором», воздействующим на контактную поверхность полосы и валков.

Поэтому на пластическом участке, совпадающем с зоной прилипания, принято, что касательные напряжения изменяются линейно от максимального значения τ_xmax= τ_Si до минимального отрицательного значения τ_x≥- τ_Si, проходя через значение τ_x= 0 в нейтральном сечении, где скоростной напор равен нулю, в соответствии с выражением:

, (6.61)

где h_Н – толщина полосы в нейтральном сечении;

h_1упр= h_i-1-Δh_1упр– толщина полосы на границе первого упругого и пластического участков;

h_i-1 – толщина полосы на входе в i-ю рабочую клеть;

- максимальная упругая деформация полосы в конце первого упругого участка;

σ_ф.плi – среднее значение сопротивления деформации полосы на пластическом участке очага деформации i-й рабочей клети;

E_П – модуль упругости материала полосы.

Выражение (6.61) до нейтрального сечения характеризует изменение τ_x в зоне отставания, а после нейтрального сечения – в зоне опережения, где v_xср>v_в, а τ_x<0. Отрицательные значения τ_x имеют физический смысл, состоящий в том, что в зоне опережения напряжения трения направлены навстречу движению полосы (бочка валка, скорость которой в этой зоне меньше средней по сечению скорости полосы, силами трения притормаживает полосу).

3. На границе пластического и второго упругого участков зона прилипания, согласно принятому допущению, заканчивается, и на втором упругом участке вновь действует закон трения скольжения (6.59). При этом τ_x изменяется от минимального отрицательного значения до нуля.

б) Модель сопротивления деформации

В соответствии с общими положениями о влиянии сопротивления деформации на контактные напряжения, изложенными в п. 6.2, для определения сопротивления деформации в процессе горячей прокатки можно использовать либо формулу В.И. Зюзина (2.20), либо формулу Л.В. Андреюка (2.21) (глава 2). Предпочтительнее формула (2.21), т.к. в справочнике [23], где она приводится, дан более широкий сортамент марок сталей и сплавов, чем для формулы (2.20), приводимой в справочниках [4;24]. С точки зрения теории пластической деформации эти формулы равнозначны, т.к. выражают зависимость сопротивления деформации σ_ф от совокупности одних и тех же параметров: базисного сопротивления деформации σ_о.д, определяемого химическим составом стали, температуры прокатываемой полосы, суммарного обжатия и скорости деформации.

Сопротивление деформации изменяется по мере продвижения полосы через очаг деформации, т.к. при этом изменяются температура и суммарное обжатие. Эти изменения происходят одновременно в противоположенных направлениях: из-за обжатия σ_ф растет в результате наклепа, а из-за высокой температуры σ_ф уменьшается в результате рекристаллизации.

Поэтому обычно принято определять по формуле (2.21) или (2.20) среднее значение σ_ф для всего очага деформации и его использовать в расчете контактных напряжений как постоянную исходную величину.

Например, для i-й рабочей клети ШПСГП формула Л.В. Андреюка (2.21) будет иметь вид:

, (6.62)

где σ_фi – среднее значение сопротивления пластической деформации в i-й рабочей клети (при толщине подката h₀, толщине полосы на выходе из i-й клети h_i);

σ_од – базисное значение сопротивления деформации (при температуре полосы 1000^оС, обжатии 0,1 (10%) и скорости деформации 1 ¹/_c);

u_i, - соответственно: скорость деформации (¹/_c) и суммарное относительное обжатие от толщины h₀ до толщины h_i в 2-й клети (безразмерное);

S, a, b, c – постоянные числа, зависящие от марки стали, сплава (приведены в справочнике [23]);

t_i – температура полосы на выходе из i-й клети,

,

t₀ – температура подката;

Г – градиент температуры:

,

t_к, h_к – температура и толщина готового проката (на выходе из последней клети ШПСГП).

Модель сопротивления деформации, предлагаемая в данном учебнике, отличается от других моделей тем, что формула σ_фi (6.62) (или аналогичная ей формула В.И. Зюзина) применяется для расчета контактных напряжений не на всей протяженности очага деформации, а только на его пластической части. На упругих участках, как и в очагах деформации стана холодной прокатки, вместо сопротивления пластической деформации надо использовать сопротивление упругой деформации, под которым понимается напряжение в испытуемом образце на упругом участке его нагружения. Это напряжение, согласно закону Гука, изменяется линейно от нуля до σ_фi, поэтому на упругих участках в качестве сопротивления деформации можно принять его среднее значение:

σ_фiупр=0,5 σ_фi (6.63)

в) Модель коэффициента трения.

Из графика изменения по длине очага деформации напряжений τ_x (рис. 6.16) и формул (6.59), (6.614), принятых в качестве четвертого допущения для расчета контактных напряжения, видно, что коэффициент трения μ при горячей прокатке влияет на величину контактных напряжений только на упругих участках очага деформации стана горячей прокатки. Для этих участков на основе анализа известных эмпирических формул коэффициента трения можно рекомендовать как наиболее достоверную формулу [23]:

μ_i=k₁k₂k₃(1,05-0,0005t_i), (6.64)

где k₁ – коэффициент, учитывающий состояние поверхности и материал валков;

k₂ – коэффициент, учитывающий скорость прокатки;

k₃ – коэффициент, учитывающий содержание углерода в стали.

Значения этих коэффициентов приведены в справочнике [23].

г) Система уравнений для получения расчетных формул контактных напряжений.

Принцип вывода расчетных формул контактных напряжений в очаге деформации рабочей клети ШПСГП такой же, как и для стана холодной прокатки (см. п. 6.3, г): для каждого участка очага деформации составляют систему трех уравнений.

Первое: дифференциальное уравнение равновесия элемента полосы, с использованием схемы напряжений, показанной на рис. 6.2, а:

ΣX_i=0, (6.65)

где X_i – проекции на ось x (ось прокатки) всех сил, приложенных к элементу abdc снаружи, через площадки ab, bd, cd, ac, в результате суммирования на этих площадках напряжений p_x(h_x), τ_x(h_x), σ_x(h_x), (σ_x+d σ_x)(h_x+dh_x) (см. табл. 6.2)

Второе: уравнение касательных напряжений:

- на упругих участках уравнение (6.59);

- на пластическом участке уравнение (6.61), общее для зон отставания и опережения.

Третье: уравнение пластичности (на пластическом участке) или упругости (на упругих участках).

Эти уравнения имеют такой же вид, как и в очаге деформации стана холодной прокатки (см. п. 6.3, г, уравнения (6.23), (6.24), (6.25), там же подробно объяснена методика их вывода, основанная на допущениях, введенных в теорию прокатки А.И. Целиковым). Перепишем их с учетом специфики процесса горячей прокатки.

- уравнение упругости для 1^го упругого участка:

, (6.66)

- уравнение пластичности для пластического участка:

, (6.67)

- уравнение упругости для 2^го упругого участка:

, (6.68)

где E_П(Г) – модуль упругости материала полосы в температурном интервале горячей прокатки, который по справочным данным [24], на 25-30% меньше, чем при холодной прокатке;

σ_фi – среднее значение сопротивления пластической деформации, вычисляемое, например, по формуле (6.62).

д) Решение системы уравнений – получение расчетных формул p_x(h_x), τ_x(h_x), σ_x(h_x) для очага деформации ШПСГП.

Составление и решение указанной выше системы уравнений выполняется теми же методами, что и для очага деформации стана холодной прокатки.

Опыт расчетов показал, что при горячей прокатке в очаге деформации всегда есть нейтральное сечение, причем оно является единственным. Поэтому ход решения аналогичен изложенному в п. 6.3, г, д.

Изучающим теорию прокатки рекомендуется проделать это решение самостоятельно, это позволит глубже осмыслить методику расчета контактных напряжений.

Исходные уравнения для формулы p_x(h_x) и их окончательные выражения приведены для упругих участков в табл. 6.8, для пластического участка – в табл. 6.9.

Таблица 6.8

Основные выражения, характеризующие упругие участки очага деформации i-й рабочей клети при горячей прокатке тонких широких полос.

Участок упругого сжатия длиной x1упр	Участок упругого восстановления длиной x2упр
Дифференциальные уравнения равновесия
, где	, где
Уравнения упругости
Закон трения
τx=μipx
Формулы px(hx)
где	где

Примечание. h_i-1 – толщина полосы на входе в i-ю клеть; σ_i-1, σ_i – заднее и переднее удельные натяжения; углы ^α/₂ и β – см. рис. 6.16.

В связи с некоторой громоздкостью формул p_x(h_x) их применение требует использования компьютера.

Формулы p_x(h_x) для упругих участков (табл. 6.8, п. 4) аналогичны соответствующим формулам очага деформации стана холодной прокатки (табл. 6.3). Их разница только в значениях модуля упругости полосы: величина E_П(Г) в табл. 6.8 меньше величины E_П в табл. 6.3:

E_П(Г)≈(0,7-0,75) E_П.

Формула p_x(h_x) для пластического участка (табл. 6.9, п. 4) существенно отличается от соответствующих формул для очага деформации стана холодной прокатки из-за разницы условий трения: при горячей прокатке на пластическом участке, согласно принятому допущению, действуют напряжения трения покоя τ_x, характерные для зоны прилипания, выражаемые формулой (6.61) (табл. 6.9, п. 3). Поэтому в формуле p_x(h_x) (табл. 6.9, п. 4) отсутствует коэффициент трения и эта формула единая для зоны отставания и опережения.

Таблица 6.9.

Основные выражения, характеризующие пластический участок очага деформации i-й рабочей клети при горячей прокатке тонких широких полос.

1. Дифференциальное уравнение равновесия
2. Уравнение пластичности
3. Напряжение трения
4. Формула px(hx)

Примечание. p_1упр – значение нормального контактного напряжения, рассчитанное по уравнению p_x(h_x) для первого упругого участка в сечении, где h_x=h_1упр, τ_Si=0,57σ_фi – среднее сопротивление чистого сдвига в i-й рабочей клети, h_Н – толщина полосы в нейтральном сечении.

В качестве граничных условий на входе и выходе очага деформации при решении дифференциальных уравнений на упругих участках используют заданные удельные натяжения полосы σ_i-1, σ_i. В качестве граничного условия для пластического участка используют значение p_x(h_x), рассчитанное для первого упругого участка в сечении, где h_x=h_1упр.

Чтобы получить выражение для расчета толщины полосы в нейтральном сечении, приравнивают выражения p_x(h_x=h_2упр), полученные для пластического и второго упругого участков, получив тем самым уравнение относительно h_x=h_Н.

Его решение дает новую, уточненную формулу толщины полосы в нейтральном сечении, учитывающую все отмеченные выше особенности очага деформации стана горячей прокатки:

(6.69)

где p_2упр – значение нормального контактного напряжения, рассчитанное по уравнению p_x(h_x) для второго упругого участка в сечении h_x=h_2упр=h_i-h_2упр.

Относительные упругие деформации по толщине полосы на границах упругих участков с пластическим Δh_1упр и Δh_2упр вычисляют по формулам, аналогичным выражениям (6.13) и (6.15) (их вывод дан в п. 6.3, б):

; (6.70)

Остальные структурные параметры очага деформации, необходимые для расчета p_x(h_x) по формулам таблиц 6.8 и 6.9, вычисляют по тем же формулам, что и при холодной прокатке:

- длина второго упругого участка x_2упр – по формуле (6.40), в которой принимают K_попр=1;

- общая длина первого упругого и пластического участков x₁ – по формуле (6.43);

- длина первого упругого участка x_1упр – по формуле (6.44);

- длина пластического участка x_пл – по формуле (6.45);

- длина зоны опережения пластического участка x_{пл.опер} – по формуле (6.46);

- длина зоны отставания пластического участка x_{пл.отст} – по формуле (6.47);

- общая длина очага деформации i-й рабочей клети l_ci – по формуле (6.48);

- тангенс угла наклона поверхности AB к оси прокатки tg(α/2) (рис. 6.9) – по формуле (6.50);

- тангенс угла наклона поверхности BC к оси прокатки tgβ (рис. 6.9) – по формуле (6.51).

е) Анализ закономерностей распределения нормальных контактных напряжений по длине очага деформации

Приведенные в табл. 6.8 и 6.9 формулы p_x(h_x) дают возможность проанализировать характер распределения контактных напряжений по длине очага деформации.

Ниже изложены результаты исследования контактных напряжений в очагах деформации 6^ти клетевого ШПСГП “1700” при прокатке полосы толщиной 0,87 мм шириной 1000 мм [25] по реальному режиму, параметры которого указаны в табл. 6.10. Рассчитанные длины очагов деформации и их участков, а также максимальные значения p_x(h_x) и p_x(h_x=h_Н) приведены в табл. 6.11.

Таблица 6.10

Параметры режима горячей прокатки полосы из стали 1ПС

Размерами 0,9х1000 мм

Клеть №	vi, м/с	hi-1, мм	hi, мм	μi	σ i-1, МПа	σ i, МПа	ε i, %	ε Σi, %
1	1,03	24,9	10,15	0,56	0	0,48	59,2	59,2
2	2,37	10,15	3,95	0,375	0,48	0,81	61,08	84,14
3	4,42	3,95	2,18	0,333	0,81	1,83	44,81	91,25
4	6,82	2,18	1,71	0,373	1,83	1,97	21,56	93,13
5	9,81	1,71	1,04	0,2	1,97	2,43	39,18	95,82
6	11,74	1,04	0,87	0,3	2,43	32,3	16,35	96,51

Примечание: v_i – скорость полосы на выходе из i-й клети, ε _Σi – суммарное обжатие после i-й клети.

На рис. 6.17 показаны характерные распределения нормальных контактных напряжений в 1^й, 3^й, и 6^й клетях при горячей прокатке полосы по указанному режиму.

Таблица 6.11

Структурные параметры очагов деформации рабочих клетей при горячей прокатке полосы из стали 1ПС размерами 0,9х1000 мм

Клеть №	lci, мм	x1упр, мм	xпл, мм	x2упр, мм	, %	, %	Xi	pxmax, МПа	pН, МПа	xН, мм
1	71	0,1	70,3	0,51	0,86	84	0,76	358	308	11
2	46	0,07	45,2	0,71	1,7	91	0,68	537	526	4
3	26	0,07	24,4	1,18	4,9	94	0,61	917	915	2
4	14	0,09	12,5	1,19	9,2	93	0,57	920,5	919,6	0,5
5	17	0,06	14,8	1,65	10,4	96	0,59	1440	1437	0,36
6	9	0,08	7,6	1,49	17	95	0,56	1293,7	1293,5	0,02

Примечания: X_i – показатель, характеризующий положение нейтрального сечения X_i=x_{пл.отст}.x_пл; p_max – максимальное значение контактных напряжений в очаге деформации; p_Н – значение контактных напряжений в нейтральном сечении; x_Н – расстояние от нейтрального сечения до сечения максимального нормального напряжения.

Анализ таблиц и рисунка дает основание для следующих выводов.

1. Доля упругих участков очага деформации от общей длины возрастает от 1-2% в первых клетях до 10-17% в последних клетях чистовой группы, что подтверждает целесообразность их учета в энергосиловом расчете широкополосных станов горячей прокатки. В первых клетях влияние упругих участков на величину усилий прокатки незначительно, но расчет контактных напряжений в этих участках позволяет достоверно определить величину напряжений в основной – пластической – зоне очага деформации.

Рис. 6.17 Распределение нормальных контактных напряжений по длине очага

деформации в 1^й, 3^й и 6^й клетях 6-клетевой непрерывной группы ШПСГП «1700»

(на примере прокатки полосы из стали 1ПС 24,9→0,9х 1000 мм)

2. Максимальные значения нормальных контактных напряжений увеличиваются от 350-500 МПа в первых клетях до 1300-1450 МПа в последних клетях, где они соответствуют уровню напряжений при холодной прокатке и оказывают большое влияние на интенсивность износа рабочих валков. Однако в первых клетях значительно выше температура полосы, что способствует выгоранию поверхности бочки валков, поэтому задача повышения стойкости рабочих валков при прокатке наиболее тонких полос актуальна для всех клетей чистовых групп широкополосных станов.

3. Нейтральное сечение не совпадает с сечением максимума контактных напряжений, особенно в первых клетях чистовой группы, где расстояние между этими сечениями составляют 11 мм. По мере уменьшения толщины полосы это расстояние уменьшается и в последних клетях нейтральное сечение почти совпадает с сечением максимума напряжений. На несовпадение этих сечений в зоне прилипания впервые указал А.И. Целиков [1;2]. Изложенная методика подтвердила эту особенность очага деформации и дала возможность достоверно рассчитать положение обоих сечений.

4. В отличие от холодной прокатки, где доля зоны отставания от общей длины пластических участков достигает 80-100%, при горячей прокатке эта доля находится в диапазоне 56-76%, то есть одно нейтральное сечение и зона опережения имеет место в очагах деформации всех рабочих клетей.