Однородное изотропное полупространство

Рассмотрим систему уравнений равновесия. Для однородного изотропного полупространства можно ограничиться одним из уравнений системы:

, (4)

где - плотность грунта; g – ускорение силы тяжести.

Из условия изотропности массива уравнение (4) принимает вид:

Интегрирование этого уравнения при дает:

где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий; - удельный вес грунта в целом. Если на поверхности основания приложена нормальная нагрузка интенсиностью р, то . Тогда:

.

При водонасыщенности массива грунта, когда уровень воды совпадает с уровнем поверхности грунта, вместо удельного веса грунта используется удельный вес грунта во взвешенном состоянии: , где - удельный вес воды, равный 10 kн/м³. Тогда:

Это справедливо при полном водонасыщении пор водой, вследствие действия архимедовых сил взвешивания. В плотных глинистых грунтах гидростатическое давление передается только через поры, содержащие свободную воду, поэтому малом содержании свободной воды имеет место частичное (неполное) взвешивание, а в переуплотненных глинах архимедовы силы могут вовсе отсутствовать.

Плоская задача теории упругости

Более сложные задачи рассмотрим на примере плоской задачи теории упругости (задача о плоской деформации или о плоском напряженном состоянии) (рис. 4).

Рис. 4

Решение задачи сводится к совместному интегрированию уравнений равновесия:

(5)

совместности:

и граничных условий: , где l, m - направляющие косинусы на граничной кривой; - составляющие граничных напряжений. Так формулируется первая основная задача теории упругости, решаемая в напряжениях для линейно деформируемых массивов грунта.

При постоянстве объемных сил в рассматриваемой области, вместо трех неизвестных напряжений в плоской задаче ( ) можно искать одну неизвестную функцию напряжений (функцию Эри - ), связанную с компонентами напряжений соотношениями:

где - любые частные решения, удовлетворяющие уравнениям равновесия (5). Функция напряжений Эри находится интегрированием бигармонического уравнения вида:

Уравнения равновесия плоской задачи могут быть приведены к системе уравнений второго порядка с двумя неизвестными функциями перемещений. Для этого компоненты напряжений в уравнениях равновесия ( ) выражаются с использованием обобщенного закона Гука через компоненты вектора перемещений . Система уравнений в перемещениях в рамках плоской задачи имеет вид:

(6)

Решение этой задачи может быть получено с применением численных методов и современных компьютерных средств. К численным методам относятся методы конечного элемента или метод конечных разностей (метод сеток), позволяющие перейти от проблемы решения дифференциальных уравнений в частных производных к системе алгебраических уравнений. При этом область интегрирования (массив грунта) разбивается на элементы (метод МКЭ) или покрывается сеткой (метод сеток) перемещения, в узлах которой являются искомыми величинами. Так, например, применение метода сеток [4] к системе (6) позволяет получить алгебраическую систему вида:

(7)

где - матрица коэффициентов; - столбцы вектора неизвестных и вектора нагрузок. В качестве граничных условий на границе выделенной области интегрирования принимается равенство нулю перемещений. На свободной поверхности основания нормальные и касательные напряжения считаются равными нулю, на нагруженной поверхности нормальные напряжения равны интенсивности приложенного внешнего давления (рис. 5).

Рис. 5.

В качестве граничного условия может выступать заданное перемещений части поверхности основания (кинематическое нагружение).

Решение алгебраической системы (7) позволяет найти поля перемещений по выделенной области интегрирования.

Рис. 6. Рис. 7

На рис. 6,7 в технологии Microsoft Excel приведены эпюры полей вертикальных и горизонтальных перемещений для половины области интегрирования (до оси симметрии на рис. 5).