Угол наибольшего отклонении

В общем случае на любой элементарной площадке в грунтовой среде действуют касательные и нормальные (в том числе и фиктивное ) напряжения (Рис. 3).

Рис. 3. Напряжения, действующие по элементарной площадке в грунтовой среде.

Равнодействующая этих напряжений, называется полным приведенным напряжением. Оно отклоняется от нормали к площадке на угол . При повороте площадки этот угол меняется от _max до 0, при этом

(4)

Сопоставляя (2) и (4) видим, что состояние предельного равновесия будет достигнуто в данной точке при условии

(5)

Таким образом, состояние предельного равновесия наступает тогда, когда максимальный угол отклонения полного приведенного напряжения от нормали к площадке становится равным углу внутреннего трения.

Диаграмма Мора.

В условиях плоской задачи напряженное состояние описывается кругом (Рис.4), построенном на разности главных напряжений _и₂ .

Рис. 4. Круг напряжений в условиях плоской задачи.

Любая точка на окружности соответствует площадке, наклоненной к главной площадке под углом и имеющей напряжения и (Рис. 4). Угол наклона к оси прямой, проведенной в эту точку, будет углом отклонения полного приведенного напряжения от нормали к площадке . Наибольший угол отвечает точке касания прямой к кругу напряжений.

Таким образом, учитывая условие (5), состояние предельного равновесия наступает только тогда, когда круг напряжений касается прямой, проведенной из точки под углом, равным углу внутреннего трения . Эта прямая называется предельной прямой.

Области предельного напряженного состояния и условия их возникновения.

Условие предельного равновесия Кулона-Мора, определяемое касательной к кругу построенному на наибольшем и наименьшем главных напряжениях (Рис. 4), никак не зависит от величины промежуточного главного напряжения . Это не позволяет в полной мере учесть пространственность наряженного состояния грунтовой среды. В действительности, как показывают эксперименты, промежуточное главное напряжение в ряде случаев влияет на прочность грунтов, например плотных песчаных и более крупнозернистых. Роль промежуточного главного напряжения учитывается в условии предельного равновесия Мизеса-Ьоткина. В этом условии А.И.Боткин обобщил для случая грунтовой среды теорию прочности Р. Мизеса, разработанную им применительно к металлам. При описании прочности грунтовой среды предлагается использовать систему октаэдрических площадок и соответствующих им октаэдрических напряжений (Рис. 5).

Рис. 5. Октаэдрические площадки и напряжения

Октаэдрическими называются площадки равнонаклоненные к координатным осям, совпадающим по направлению с направлением главных напряжений.

Октаэдрические напряжения нормальное и касательное выражаются по правилам, излагаемым в курсе сопротивления материалов, через главные напряжения

(6)

Условие предельного равновесия Мизеса-Ьоткина имеет следующий вид

(7)

или, учитывая (6)

(8)

где - параметры прочности грунта (расчетные характеристики прочности) в модели Боткина.