§ 7. Основные непрерывные распределения
7.4. Распределение Вейбулла
Определение 7.4. СВ X имеет распределение Вейбулла с параметрами α и λ, где α>0 и λ>0, если плотность имеет вид (рис. 7.7)
fX(x)={αλxα−1e−λxα,x>0,0,x≤0.
Рис. 7.7
Свойства распределения Вейбулла:
Непосредственные вычисления показывают, что (рис. 7.8)
FX(x)≜∫−∞xfX(t)dt={1−e−λxα,x≥0,0,x<0.
Приведем формулы для МО и дисперсии:
mX=λ−1/αΓ(α+1α),
dX=λ−2/α{2αΓ(2α)−1α2[Γ(1α)]2},
где Γ(x)≜∫0+∞e−ttx−1dt — гамма-функция , значения которой задаются таблично.
Если α=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение с показателем λ.
Рис. 7.8
Замечание 7.5.
СВ, имеющая распределение Вейбулла, встречается в задачах надежности при оценке времени безотказной работы прибора.
§ 7. Основные непрерывные распределения
7.5. Логарифмически нормальное распределение
Определение 7.5. СВ Y≜eX, где X~N(m;σ2), имеет логарифмически нормальное(логнормальное) распределение с параметрами m и σ2>0.
Свойства логнормального распределения
Так как ex — строго возрастающая функция, то учитывая выражение для плотности нормального распределения, находим плотность логнормального распределения:
fY(y)=fX(ψ(y))ψ′(y)=∥∥∥ψ(y)=lnyψ′(y)=1/y∥∥∥=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1yσ2π−−√exp(−(lny−m)22σ2),y>0,0,y≤0.
График функции fY(y) (рис. 7.9) асимметричен с максимумом в точке y=em−σ2.
Найдем МО и дисперсию СВ Y. По определению
M[Y]=1σ2π−−√∫0∞e−(lny−m)22σ2dy=∥∥∥замена перем.y=eσ(t+σ)+m∥∥∥=em+σ2/22π−−√∫−∞∞e−t2/2dt=em+σ22.
Рис. 7.9
Аналогично можно найти M[Y2]=e2(σ2+m). Поэтому
D[Y]=M[Y2]−(M[Y])2=eσ2+2m(eσ2−1).
Замечание 7.6.
Логнормальное распределение имеет широкое распространение в экономической статистике, статистической физике и биологии.
§ 7. Основные непрерывные распределения
7.6. Типовые задачи
Задача 7.1.
Случайная величина X~R(0;a), P{X>1/3}=1/3. Найти a и M[X2].
Решение. Построив график плотности вероятности fX(x), нетрудно вычислить вероятность P{X>1/3} как площадь прямоугольника со сторонами 1/a и a−1/3. Разрешая получаемое уравнение
1a(a−13)=13
относительно a, a=1/2. Используя теперь формулы математического ожидания и дисперсии для равномерного распределения R(0;1/2), вычисляем
M[X]≜a+b2=14,
D[X]≜(b−a)212=(1/2−0)212=148.
Наконец,
M[X2]=D[X]+(M[X])2=148+116=112.
Ответ. a=1/2, M[X2]=1/12.
■
Задача 7.2.
Случайная величина X~E(10). Вычислить P{X>100|X>99}.
Решение. Воспользуемся определением условной вероятности:
P{X>100|X>99}=P({X>100}⋅{X>99})P{X>99}.
Поскольку {X>100}⊂{X>99}, то {X>100}⋅{X>99}={X>100}.Следовательно,
P{X>100|X>99}=P{X>100}P{X>99}.
В числителе и знаменателе перейдем к противоположным событиям. Вероятности этих событий найдем, используя функцию распределения экспоненциального закона,
P{X>100}=1−P{X≤100}=1−FX(100)=e−10⋅100,
P{X>99}=1−P{X≤99}=1−FX(99)=e−10⋅99.
Таким образом,
P{X>100|X>99}=e−1000e−990=e−10=1−F(1)=P{X>1}.
Ответ. P{X>100|X>99}=P{X>1}=e−10=4,68⋅10−5.
■
Задача 7.3.
Случайная величина X~N(10;20). При каких h равенство
P{|X−M[X]|<hD[X]−−−−√}=P{|X−M[X]|≥hD[X]−−−−√}
будет верно?
Решение. Пусть A={|X−M[X]|<hD[X]−−−−√}, тогда
A¯¯¯={|X−M[X]|≥hD[X]−−−−√},
и потому имеем
P{|X−M[X]|≥hD[X]−−−−√}=1−P{|X−M[X]|<hD[X]−−−−√}.
Вероятность P{|X−M[X]|<hD[X]−−−−√} согласно свойству 5) N(m;σ2) , может быть вычислена с помощью функции Лапласа:
P{|X−M[X]|<hD[X]−−−−√}=P{|X−M[X]|<hσ}=2Φ0(h).
Таким образом, исходное уравнение сводится к виду 2Φ0(h)=1−2Φ0(h), откуда Φ0(h)=1/4. По табл. 1 функции Лапласа находим h≈0,678.
Ответ. h≈0,678.
■
Задача 7.4.
Если соблюдается график движения трамваев, то среднее время ожидания пассажиром трамвая равно 3,5 минуты. Известно, что время ожидания имеет равномерный закон распределения. Минимальное время ожидания равно 0. Найти вероятность того, что пассажир будет ожидать трамвай от двух до пяти минут.
Решение. Обозначим время ожидания трамвая через X. Согласно условию задачи X~R(a;b),где a=0, а M[X]=3,5. Найдем параметры закона распределения, решив следующую систему уравнений:
⎧⎩⎨M[X]=a+b2=3,5;a=0.
Получаем, что второй параметр закона распределения b=7. Тогда
P⎧⎩⎨⎪⎪2≤X≤5⎫⎭⎬⎪⎪=∫25f(x)dx,
где
f(x)=⎧⎩⎨17,x∈[0,7],0,x∉[0,7].
Получаем P{2≤X≤5}=3/7.
Ответ. P{2≤X≤5}=3/7.
■
Задача 7.5.
Время ремонта и обслуживания автомобиля после одной поездки случайно и удовлетворительно описывается экспоненциальным законом распределения. Было замечено, что в текущем сезоне на ремонт и обслуживание автомобиля после одной поездки тратилось в среднем 5 минут. Найти вероятность того, что при очередной поездке это время не превысит 30 минут.
Решение. Пусть X — время ремонта и обслуживания автомобиля после одной поездки. По условию задачи X~E(λ) и M[X]=5. По формуле связи M[X] и λ получаем, что M[X]=1λ=5. Отсюда находим λ=1/5. Требуется найти P{X≤30}. Плотность вероятности СВ X имеет вид
f(x)=⎧⎩⎨15e−x/5,x>0,0,x≤0.
Следовательно, получаем
P⎧⎩⎨⎪⎪X≤30⎫⎭⎬⎪⎪=∫03015e−x/5dx=−e−x/5∣∣∣∣=1−e−6≈0,998.
Ответ. P{X≤30}=1−e−6≈0,998.
■
Задача 7.6.
Рост взрослого мужчины удовлетворительно описывается нормальным законом распределения. По статистике средний рост составляет 175 см, а среднеквадратическое отклонение равно 7 см. Найти вероятность того, что рост наугад взятого мужчины будет отличаться от среднего роста не больше чем на 7 см.
Решение. Обозначим рост наугад взятого взрослого мужчины через X. По условию задачи X~N(175;49). Требуется найти P{|X−M[X]|≤7}. Так как интервал (M[X]−7,M[X]+7) симметричен относительно M[X], то
P{|X−M[X]|≤7}=2Φ0(7D[X]−−−−√)=2Φ0(1)≈2⋅0,3413=0,6826.
Ответ. Искомая вероятность приблизительно равна 0,6826.