§ 11. Многомерные случайные величины

11.2. Многомерное нормальное распределение

Определение 11.7. Говорят, что n   -мерная СВ X=col(X1,...,Xn)   имеет нормальное гауссовское распределение, X∼N(m;K), если ее плотность распределения есть

fX(x)=1(2π)ndetK−−−−−−−−−√exp{−12(x−m)TK−1(x−m)},

где detK   — определитель положительно определенной матрицы K, m≜col(m1,...,mn), x≜col(x1,...,xn).

Плотность нормального распределения можно задать также через элементы обратной матрицыK−1   таким образом, как это сделано в определении 10.11 при рассмотрении двумерной СВ.

Свойства нормального распределения N(m,K)

1. M[X]=m, ковариационная матрица СВ X   равна M[(X−m)(X−m)T]=K.

2. Так как матрица K   — невырожденная, то каждая i -я компонента Xi   вектора X   распределена нормально.

3. Если X∼N(m;K), то случайный вектор Y≜AX+b, где A   — матрица размерности n×k,имеющая ранг, равный k, и b   — вектор размерности n, имеет распределение N(mY;KY), где mY=Am+b, KY=AKAT.

4. Пусть СВ Y≜a1X1+...+anXn, где X1,...,Xn   распределены нормально, а коэффициенты a1,...,an∈R1   не все равны нулю. Тогда СВ Y   распределена нормально.

5. Если случайный вектор имеет нормальное распределение, а его компоненты попарно некоррелированны, то

f(x1,...,xn)=1σ12π−−√exp{−(x1−m1)22σ21}×...×1σn2π−−√exp{−(xn−mn)22σ2n}=f1(x1)⋅...⋅fn(xn),

т.е. СВ X1,...,Xn   независимы. Но из независимости следует некоррелированность (см. свойство 4) kXY ), поэтому для нормального распределения условия некоррелированности и независимости эквивалентны.

§ 11. Многомерные случайные величины

11.3. Биржевой парадокс

Рассмотрим любопытный экономический пример. Пусть имеется начальный капитал K, который требуется увеличить. Для этого имеются две возможности: вкладывать деньги в надежный банк и покупать на бирже акции некоторой компании. Пусть u   — доля капитала, вкладываемая в банк, а v   — доля капитала, расходуемая на приобретение акций. Очевидно, что u≥0, v≥0   и 0≤u+v≤1.Предположим, банк гарантирует b×100%>0   годовых, а акции приносят X×100%   годовых. Так как предполагается, что банк абсолютно надежен, то b   является неслучайной величиной. Стоимость акций, как правило, меняется в течение года, т.е. X   является случайной величиной. Допустим, что приобретение акций в среднем более прибыльно, чем вложение средств в банк, т.е. mX≜M[X]>b>0. Но при этом имеется ненулевая вероятность того, что акции обесценятся и мы потеряем все деньги, вложенные в акции, P{X≤−1}=ε>0.

Таким образом, мы можем надеяться, что через год капитал составит величину K1=K(1+bu+Xv), которая является случайной. Рассмотрим также ожидаемое через год среднее значение капитала:

K0(u,v)≜M[K(1+bu+Xv)]=K(1+bu+mXv).

Поставим задачу распределить капитал таким образом, чтобы максимизировать средний доход за год:

K0(u0,v0)=maxu+v≤1, u≥0, v≥0K0(u,v).

Нетрудно найти решение этой простой задачи линейного программирования. Так как по условию задачи mX>b>0, то, очевидно, все деньги нужно вкладывать в акции, которые в среднем более прибыльны, чем вложение в банк, т.е. u0=0, v0=1. При такой стратегии среднее значение капитала через год будет максимально:

K0(u0,v0)=K(1+mX).

Выясним, к чему приведет такая стратегия управления капиталом, если применять ее многократно. Пусть Xi, i=1,n¯¯¯¯¯,   — ежегодный прирост капитала за счет приобретения акций. Предположим, что СВ Xi, i=1,n¯¯¯¯¯, независимы. Пусть ui=0, vi=1, i=1,n¯¯¯¯¯, т.е. ежегодно покупаются только акции, которые в среднем более прибыльны, чем вложение в банк, M[Xi]=mX>b>0. Тогда среднее значение капитала через n   лет составит величину

Kn≜M[K∏i=1n(1+Xi)]=K∏i=1n(1+M[Xi])=K(1+mX)n.

Здесь использовалось свойство 2)M[X]. Так как по предположению mX>0, то 1+mX>1.Поэтому при n→∞   получаем K→∞. Образно говоря, при таком управлении капиталом можно стать неограниченно богатым "в среднем".

Посмотрим, что происходит с вероятностью нашего разорения при выбранной стратегии

P(Bn)≜P(A1+...+An),

где событие Ai≜{Xi:1+Xi≤0}   характеризует разорение в i -й год, а событие Bn≜A1+...+An   — возможность разорения хотя бы один раз за n   лет.

Рассмотрим противоположное событие B¯¯¯n=Ω\Bn. Воспользовавшись свойством 11)A , находим

B¯¯¯n=∏i=1nA¯¯¯i,

где A¯¯¯i={Xi:1+Xi>0}. Так как СВ Xi   независимы, то независимы также события Ai, i=1,n¯¯¯¯¯. Поэтому имеем

P(B¯¯¯n)=∏i=1nP(A¯¯¯i)=∏i=1nP{Xi+1>0}.

Но по предположению P(Ai)=P{Xi≤−1}=ε>0, т.е. с ненулевой вероятностью можно потерять весь капитал в каждый i -й год. Поэтому P(A¯¯¯i)=1−P(Ai)=1−ε<1. Отсюда следует, что

P(B¯¯¯n)=(1−ε)n→0, приn→∞.

А, следовательно, P(Bn)=1−P(B¯¯¯n)→1   при n→∞, т.е. вероятность разорения при выбранной стратегии стремится к единице. И это несмотря на то, что средний доход стремится к бесконечности. В этом и состоит биржевой парадокс, к которому мы пришли, решив покупать лишь одни акции, пренебрегая возможностью получения в банке хоть и небольшой, но зато гарантированной, прибыли. Это значит, что не следует "складывать все яйца в одну корзину".

На практике, чтобы избежать этого парадокса, используют так называемую логарифмическую стратегию, которая определяется из следующего условия:

L0(uL,vL)=maxu+v≤1, u≥0, v≥0M[ln(1+bu+Xv)],

т.е. из условия максимизации средней скорости роста капитала. В частности, иногда предполагают, что СВ Y≜1+X   имеет логнормальное распределение (см. определение 7.5). При логарифмической стратегии капитал распределяется, как правило, в некоторых пропорциях между покупкой акций и вложением в банк.

Следует также отметить, что рассмотренный пример хорошо иллюстрирует особенность поведения случайной последовательности

Zn≜K∏i=1n(1+bui+Xivi)

при n→∞. В отличие от детерминированной последовательности случайная последовательность может сходится в разных смыслах и к разным значениям. В данном примере если ui>0   и vi=1, то Zn→∞   в среднем и в то же время Zn→0   по вероятности. Эти понятия будут введены в следующем разделе (см. определение 13.4).