§ 10. Условные распределения
10.1. Условная функция распределения
Рассмотрим следующую задачу: найти закон распределения двумерной СВ Z≜col(X,Y), зная законы распределения двух одномерных СВ X и Y. Оказывается, что в общем случае эту задачу решить нельзя, так как необходимо знать связь между СВ X и Y, которая характеризуется условным распределением. Заметим, что свойства 6)f(x,y) и 4)F(x,y) позволяют решить обратную задачу: найти законы распределения одномерных СВ X и Y, зная закон распределения двумерной СВ Z=col(X,Y).
Определение 10.1. Пусть СВ Y является дискретной с реализациями yj такими, что P{Y=yj}≠0, j=0,m¯¯¯¯¯¯. Условной функцией распределения СВ X при условии, что СВ Y=yj, называется условная вероятность
FX(x∣∣yj)≜P{X≤x,Y=yj}P{Y=yj},
j=0,m¯¯¯¯¯¯, x∈R1, которая определена согласно определению 2.6.
Рассмотрим двумерную СВ Z=col(X,Y) с плотностью распределения f(x,y).
Определение 10.2. Пусть для всех x∈R1 плотности f(x,y) и fY(y) непрерывны в точкеy∈R1 и fY(y)≠0. Условной функцией распределения СВ X при условии, что СВ Y=y,называется предел при Δy>0 следующей условной вероятности:
FX(x|y)≜limΔy→0P{X≤x,|Y−y|≤Δy}P{|Y−y|≤Δy}.
Аналогично определяется условная функция распределения FY(y|x) СВ Y при условии, что СВ X=x. Убедимся в корректности определения 10.2. Пусть СВ Z≜col(X,Y) непрерывна, причем плотности f(x,y), fY(y) непрерывны в точке y для всех x∈R1 и fY(y)≠0. Покажем, что предел в этом определении существует и он равен FX(x|y)=1fY(y)∫−∞xf(t,y)dt.
Рассмотрим вероятность
P(D)≜P{X≤x,|Y−y|≤Δy}
попадания СВ Z в полуполосу D (рис. 10.1). По свойству 17)P получаемP(D)=P{|Y−y|≤Δy}⋅P{X≤x|y−Δy≤Y≤y+Δy}. Тогда, из свойств 2)f(x,y) ,3)f(x) вытекает, что
P{X≤x|y−Δy≤Y≤y+Δy}=P{X≤x,|Y−y|≤Δy}P{|Y−y|≤Δy}=
=∫−∞x⎛⎝⎜∫y−Δyy+Δyf(t,τ)dτ⎞⎠⎟dt∫y−Δyy+ΔyfY(τ)dτ=∥∥∥∥ по теореме о среднем значении ∥∥∥∥=1fY(y≈)∫−∞xf(t,y˜)dt,
где y˜ и y≈ — некоторые точки из интервала (y−Δy,y+Δy). Учитывая непрерывность f(x,y) и f(y) и переходя к пределу при Δy→0, имеем
y˜→y, y≈→y, P{X≤x|y−Δy≤Y≤y+Δy}→FX(x|y).
Отсюда следует требуемая формула, которая определяет условную функцию распределения через плотности распределения двумерной СВ и одномерной СВ.
Рис. 10.1
Свойства F(x|y)
FX(x|y) определена для всех x∈R1 и в случае непрерывности СВ Z при fY(y)≠0 выражается формулой:
FX(x|y)=1fY(y)∫−∞xf(t,y)dt.
Это следует из определения 10.2 , так как по доказанному выше соответствующий предел существует.
0≤FX(x|y)≤1 для всех x∈R1. Это объясняется тем, что условная вероятность принимает значения из отрезка [0,1], а значит и ее предел при Δy→0 также лежит в данном отрезке.
FX(−∞|y)=0 по определению 10.2.
FX(+∞|y)=1, так как из свойства 1)F(x|y) вытекает FX(+∞|y)=∫−∞+∞f(t,y)dtfY(y)=fY(y)fY(y)=1.
F(x|y) — функция монотонно неубывающая по x∈R1 для любого фиксированного y.Действительно, в силу свойства 1)F(x|y) имеем
FX(x+Δx|y)=∫−∞x+Δxf(t,y)dtfY(y)≥∫−∞xf(t,y)dtfY(y)=FX(x|y).
Аналогичные свойства имеет условная функция распределения FY(y|x) СВ Y при условии, что СВ X=x.