§ 11. Многомерные случайные величины

11.4. Типовые задачи

Задача 11.1.

Для случайных величин X   и Y, рассмотренных в задаче 9.1, проверить справедливость следующих равенств:

M[X+Y]=M[X]+M[Y],  D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2kXY.

                                                                                

Решение. Для проверки указанных равенств найдем необходимые значения M[X], M[Y], D[X], D[Y], kXY, воспользовавшись полученными в задаче 9.1 рядами распределения СВ X   и Y:

M[X]=∑i=12xipi=12,     M[Y]=∑j=13yjpj=1⋅38+2⋅12=118,

D[X]=∑i=12(xi−M[X])2pi=(−12)2⋅12+(1−12)2⋅12=14,     

D[Y]=∑j=13(yj−M[Y])2pj=(−118)2⋅18+(1−118)2⋅38+(2−118)2⋅12=3164,     

rXY=∑i=12∑j=13(xi−M[X])(yi−M[Y])pij=∑i=12∑j=13xiyipij−M[X]M[Y]=1⋅18+2⋅1⋅38−12⋅118=316.

Таким образом, имеем M[X]+M[Y]=12+118=158,D[Y]+D[X]+2kXY=14+3164+2⋅316=7164.

Согласно задаче 9.1 , M[Z]=158, D[Z]=7164, где Z≜X+Y. Следовательно, справедливы равенства (11.1).

Ответ. Равенства (11.1) верны.

■

Задача 11.2.

Дана ковариационная матрица случайного вектора Z=col(X1,X2,X3):

KZ=∥∥kij∥∥=⎛⎝     16   −14       12 −14       49   −21      12   −21       36 ⎞⎠.

Составить корреляционную матрицу RZ=∥∥rij∥∥.

Решение. Поскольку по определению

rij=kijkii⋅kjj−−−−−√,

то

r11=r22=r33=1;

r12=r21=−1416⋅49−−−−−√=−1428=−12;

r13=r31=1216⋅36−−−−−√=1224=12;

r23=r32=−2149⋅36−−−−−√=−2142=−12.

Ответ. ∥∥rij∥∥=⎛⎝⎜    1    −1/2    1/2−1/2      1    −1/2  1/2  −1/2       1   ⎞⎠⎟.

■

Задача 11.3.

Известно, что D[X]=1, D[Y]=2, D[X+Y]=3. Найти kXY.

Решение. Используя формулу для дисперсии суммы, получаем

D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2⋅kXY,

откуда

kXY=12(D[X+Y]−D[X]−D[Y])=3−1−22=0.

Ответ. kXY=0.

■

Задача 11.4.

На столе налогового инспектора лежат три декларации от представителей различных групп населения. Вероятности сокрытия доходов при заполнении декларации для одного представителя каждой группы равны соответственно 0,05,  0,1  и  0,15. Предположим, что сокрытие доходов обнаруживается при проверке в 100% случаев. Найти средний доход государства от проверки этих деклараций, если сумма налагаемого штрафа при обнаружении сокрытия дохода составляет по группам населения 100, 250 и 500 минимальных окладов соответственно.

Решение. Рассмотрим случайную величину X, равную доходу государства от проверки трех деклараций. В задаче требуется найти средний доход, т.е. математическое ожидание СВ X. Можно найти M[X]   построив ряд распределения СВ X   и воспользовавшись определением математического ожидания. Однако процедура построения ряда распределения СВ X   представляется достаточно трудоемкой. Данная задача допускает более простое решение, основанное на использовании распределения Бернулли. Случайная величина X   может быть представлена следующим образом:

X=100X1+250X2+500X3,

где Xi∼Bi(1;pi), i=1,3¯¯¯¯,  p1=0,05,  p2=0,1,  p3=0,15.

Случайная величина Xi, имеющая распределение Бернулли, принимает значение 1, если i -й подавший декларацию скрывает доход, и 0 — в противном случае, причем M[Xi]=pi, i=1,3¯¯¯¯.Воспользуемся свойствами математического ожидания для вычисления M[X]:

M[X]=100M[X1]+250M[X2]+500M[X3]=100p1+250p2+500p3=105.

Ответ. Средний доход государства от проверки поданных трех деклараций составит 105 минимальных окладов.

■

Задача 11.5.

Известно, что случайный вектор Z=col(X,Y), где СВ X   — рост наугад взятого взрослого мужчины и СВ Y   — его вес, удовлетворительно описывается двумерным нормальным законом распределения с математическим ожиданием mZ=col(175,74)   и ковариационной матрицей

KZ=∥∥kij∥∥=(  49   28    28   36  ).

Считается, что человек страдает избыточным весом, если выполняется неравенство X−Y≤90. Найти: а) математическое ожидание и дисперсию характеристики избыточного веса X−Y; б) вероятность того, что наугад выбранный мужчина страдает избыточным весом.

Решение. а) Так как вектор Z=col(X,Y)   распределен нормально, то по свойству 2)N(m;K)нормально распределены и его координаты: X∼N(175;49),   Y∼N(74;36). Теперь, согласносвойству 4)N(m;K) разность X−Y   распределена нормально. Вычислим параметры этого закона распределения:

M[X−Y]=175−74=101;

D[X−Y]=D[X]+D[Y]−2kXY=49+36−2⋅28=29.

б) Таким образом, X−Y∼N(101;29), и следовательно

P{X−Y≤90}=12+Φ0(90−10129−−√)≈0,5−Φ0(2,04)≈0,021.

Ответ. а) M[X−Y]=101, D[X−Y]=29; б) P{X−Y≤90}≈0,021.

■