§ 14. Центральная предельная теорема

14.3. Типовые задачи

Задача 14.1.

Согласно данным статистической службы области 5,5% трудоспособного населения составляют безработные. Оценить вероятность того, что в случайно отобранной группе из 1000 трудоспособных доля безработных будет заключена в границах от 0,045 до 0,065. Решить задачу с помощью неравенства Чебышева и теоремы Муавра-Лапласа. Объяснить различие в результатах.

Решение. Пусть СВ Xi   принимает значение 1, если i− тый выбранный человек - безработный, и значение 0 - в противном случае; i=1,1000¯¯¯¯¯¯¯¯¯. Согласно определению, СВ Xi∼Bi(1;0,055),M[Xi]=p=0,055, D[Xi]=p(1−p)=0,0519. Доля безработных может быть представлена случайной величиной

M=11000∑i=11000Xi.

Согласно свойству 2)Bi(n;p)

M[M]=p=0,055,   D[M]=p(1−p)=5,19⋅10−5.

Теперь необходимо оценить вероятность P{0,045≤M≤0,065}.

Проведем очевидные преобразования:

P{0,045≤M≤0,065}=P{0,045−M[M]≤M−M[M]≤0,065−M[M]}=P{|M−M[M]|≤0,01}.

Согласно неравенству Чебышева, имеем

1−P{|M−M[M]|≥0,01}≥1−D[M]0,012=1−0,519=0,481.

Согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа, имеем

P{0,045≤M≤0,065}=P{0,045−M[M]D[M]−−−−−√≤M−M[M]D[M]−−−−−√≤0,065−M[M]D[M]−−−−−√}==P{−0,010,72⋅10−2≤M−1000p1000p(1−p)−−−−−−−−−−√≤0,010,72⋅10−2}≈≈2Φ0(0,010,72⋅10−2)=2Φ0(1,33)=0,8164.

Ответ. Оценка нижней границы вероятности, полученная с помощью неравенства Чебышева, равна 0,481. Оценка, полученная с помощью теоремы Муавра-Лапласа, равна 0,8164.

■

Задача 14.2.

Вероятность того, что при опускании одного жетона приемник игрального автомата сработает правильно, равна 0,95. Найти минимальное число жетонов, такое, чтобы при опускании их в игральный автомат, частота правильной работы автомата была бы заключена в границах от 0,93 до 0,97 включительно с вероятностью не менее 0,93. Уточнить полученную в задаче задачи 13.4 оценку с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

Решение. Используя результаты решения задачи 13.4 , искомую вероятность можно записать какP{0,93≤Wn≤0,97}=P{0,93−M[Wn]≤Wn−M[Wn]≤≤0,97−M[Wn]}=P{|Wn−M[Wn]|≤0,02}, где M[Wn]=0,95,D[Wn]=0,0475/n.

Согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа

P{0,93≤Wn≤0,97}=P{0,93−M[Wn]D[Wn]−−−−−√≤Wn−M[Wn]D[Wn]−−−−−√≤0,97−M[Wn]D[Wn]−−−−−√}≈≈Φ0(0,97−M[Wn]D[Wn]−−−−−√)−Φ0(0,93−M[Wn]D[Wn]−−−−−√)==Φ0(9,1766⋅10−2n√)−Φ0(−9,1766⋅10−2n√)=2Φ0(9,1766⋅10−2n√).

Выполнение условия P{0,93≤Wn≤0,97}≥0,93   означает, что2Φ0(9,1766n√/100)≥0,93. Воспользовавшись таблицей для функции Лапласа, получим

9,1766⋅10−2n√≥1,8119,

или

n≥(1,81199,1766⋅10−2)2=389,86.

Ответ. Оценка минимального числа жетонов, полученная с помощью теоремы Муавра-Лапласа, равна 390 жетонам.

■

Задача 14.3.

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена: а) 160 раз; б) не менее 140 раз.

Решение.

а) В данном случае опыт проводится по схеме Бернулли. Здесь один опыт Бернулли - один выстрел по мишени; "успех" - поражение мишени; вероятность "успеха" p=0,75; количество опытов Бернулли n=200. Точное значение вероятности того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена ровно 160 раз, вычисляется по формуле Бернулли:

P200{k=160}=C160200(0,75)160(0,25)40=200!160!40!(0,75)160(0,25)40≈1,7346⋅10−2.

б) Точное значение вероятности того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 140 раз, соответственно равно:

P200{k≥140}=∑i=140200P200{k=i}=∑i=140200Ci200(0,75)i(0,25)200−i=∑i=140200200!i!(200−i)!(0,75)i(0,25)200−i

≈0,95461

При вычислении этих вероятностей можно также пользоваться аппроксимацией Муавра-Лапласа (см. далее).

а) Приближенное значение вероятности того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена ровно 160 раз, вычисляется с помощью локальной теоремы Муавра-Лапласа:

P200{k=160}≈12π−−√200⋅0,75⋅0,25−−−−−−−−−−−−√exp(−12(160−200⋅0,75)2200⋅0,75⋅0,25)≈1,7173⋅10−2.

б) Приближенное значение вероятности того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 140 раз, вычисляется с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

P200{k≥140}≈P200{140≤k≤200}≈Φ0(200−200⋅0,75200⋅0,75⋅0,25−−−−−−−−−−−−√)−Φ0(140−200⋅0,75200⋅0,75⋅0,25−−−−−−−−−−−−√).

Воспользовавшись таблицами для функции Лапласа, получим P200{k≥140}≈0,94876.

Ответ. а) P200{k=160}≈1,7346⋅10−2; б) P200{k≥140}≈0,95461.

■§ 15. Задачи для самостоятельного решения

1. Количество воды, необходимое в течение суток предприятию для технических нужд, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 125 м3 . Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход воды на предприятии будет меньше 500 м3 .

2. Опыт работы рекламной компании показывает, что адресная реклама приводит к заявке в одном из 20 случаев. Компания разослала 1000 рекламных проспектов. Покажите, что с помощью неравенства Чебышева нельзя оценить вероятность того, что число заявок окажется больше 30 и меньше 60. Измените верхнюю границу так, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным, и оцените соответствующую вероятность. Уточните полученный результат с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

3. Размер выплаты каждому клиенту банка случаен. Средняя выплата одному клиенту составляет 5000 единиц, а среднеквадратическое отклонение  — 2000 единиц. Выплаты отдельным клиентам независимы. Сколько должно быть наличных денег в банке, чтобы с вероятностью 0,95 денег хватило на обслуживание 60 клиентов?

Таблица 15.1 Xn -5n 0 5n P 1/(2n)2 1−1/n2 1/(2n)2

4. Задана последовательность независимых случайных величин X1,X2,...,Xn,... Ряд распределения СВ Xn   имеет вид табл. 15.1. Проверить, применим ли к этой последовательности ЗБЧ.

5. Торговая фирма продала 1000 единиц товара, получая при этом прибыль по 50 рублей с каждой единицы. Гарантийный ремонт фирма осуществляет своими силами и терпит при этом убыток в 200 рублей. Найти границы минимального по длине интервала, внутри которого с вероятностью 0,9545 заключен доход фирмы, если в среднем гарантийный ремонт приходится делать в каждом десятом случае.

6. Скорость ветра в течение суток в данной местности является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 6 м/с. Оценить вероятность p   того, что в ближайшие сутки скорость ветра в этой местности будет не меньше, чем 16 м/с.

7. Дисперсия отдельного результата измерения случайной величины не превосходит 3. Производится 1000 независимых измерений этой величины. Какие границы можно гарантировать с вероятностью 0,95 для результата измерения среднего арифметического этих величин? Дать ответ с помощью неравенства Чебышева.

8. Среднее измерение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составило 1%, а среднеквадратическое отклонение оценивается как 0,5%. Оценить вероятность p   того, что на ближайших торгах курс изменится не менее, чем на 2%.

9. Задана последовательность независимых случайных величин X1,X2,...,Xn,..., гдеXn∼R(−1/n;1/n). Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?

10. Предположим, что среднее время опоздания студента на лекцию составляет одну минуту. Оценить вероятность p того, что студент опоздает на лекцию не менее чем на 5 минут.

11. Предположим, что в условиях предыдущей задачи дополнительно известно, что среднеквадратическое отклонение времени опоздания студента на лекцию составляет также одну минуту. Оценить минимальное значение x, при котором P{X≥x}≥p где X   — случайное время опоздания студента на лекцию, p=0,1   — заданный уровень вероятности.

12. В среднем каждая 30-я видеокассета, записываемая на студии, оказывается бракованной. Оценить вероятность p того, что из 900 кассет, записанных на студии, число бракованных окажется в пределах от 25 до 35. Решить задачу с помощью неравенства Чебышева и интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Сравнить полученные результаты.

13. Выход цыплят в инкубаторе составляет 75% от числа заложенных яиц. Оценить вероятность p  того, что из 1000 заложенных яиц вылупятся:

а) ровно 750 цыплят;

б) от 720 до 780 цыплят.

14. В среднем каждый 30-й телевизор, выпускаемый заводом, выходит из строя до окончания гарантийного срока. Оценить с помощью теоремы Муавра-Лапласа вероятность p   того, что из 300 выпущенных заводом телевизоров не более 10 поступит в гарантийный ремонт.

15. Пусть в условии задачи 3 известно, что в начале операционного дня в банке было 350 000 единиц наличных денег. Каков будет гарантированный с вероятностью 0,95 остаток n   наличных денег в банке после выплаты всем 60 клиентам?

16. Складывается 104   чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10−m. Предполагая, что погрешности от округления независимы и равномерно распределены в интервале(−0,5⋅10−m,0,5⋅10−m), найдите границы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,99, находится суммарная ошибка. Найдите также оценку этих границ, используя неравенство Чебышева. Сравните полученные результаты.