§ 3. Основные формулы вычисления вероятностей

3.1. Формула умножения вероятностей

Основной задачей теории вероятностей является вычисление вероятностей сложных событий с использованием вероятностей более простых событий.

Теорема 3.1. Вероятность одновременного появления событий A1,...,An выражается формулой умножения вероятностей:

P(A1A2⋅...⋅An)=P(A1)P(A2|A1)⋅......⋅P(An|A1A2⋅...⋅An−1),

в которой вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что в рассматриваемом опыте произошли все предыдущие события.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Проведем доказательство по индукции. Если n=2 то утверждение верно по определению условной вероятности. Предположим, что формула справедлива для любых n≤k .Тогда, рассматривая произведение k+1 события, получаем

P(A1A2⋅...⋅AkAk+1)=P((A1A2⋅...⋅Ak)Ak+1)=P(A1A2⋅...⋅Ak)P(Ak+1|A1A2⋅...⋅Ak)=P(A1)P(A2|A1)×......×P(Ak|A1A2⋅...⋅Ak−1)P(Ak+1|A1A2⋅...⋅Ak).

Таким образом, формула оказывается верной и для k+1 сомножителя. По индукции заключаем, что формула умножения вероятности верна.

■

Определение 3.1.

События A и B называются независимыми , если P(AB)=P(A)P(B) . В противном случае события называются зависимыми.

Определение 3.2.

Если любые два события из A1,…,An независимы, то события A1,…,An называются попарно независимыми. События A1,…,An называются независимыми в совокупности, или просто независимыми, если для любых k=1,n¯¯¯¯¯ и 1≤i1<...<ik≤n верно равенство

P(Ai1⋅...⋅Aik)=P(Ai1)⋅...⋅P(Aik).

Независимость событий не следует из их попарной независимости, но обратное утверждение верно.

Пример 3.1.

Пусть имеется тетраэдр, у которого первая грань выкрашена в красный цвет, вторая — в синий, третия — в желтый, а четвертая грань выкрашена частями в красный, синий и желтый. Пусть случаи ω1,ω2,ω3,ω4 состоят в выпадении в опыте G одной из граней. Событие A состоит в появлении грани красного цвета, событие B - синего, и событие C - желтого цвета. Тогда P(A)=P(ω1+ω4)=12 . Аналогично, P(B)=P(C)=12 . Далее, P(AB)=P(ω4)=14 . В то же время P(A)P(B)=14 , т.е.P(AB)=P(A)P(B) . Это значит, что события A и B независимы. Аналогично устанавливается, что события A и C , а также события B и C независимы. Таким образом, события A,B,C являются попарно независимыми.

Однако эти события не являются независимыми в совокупности. Действительно,

P(ABC)=P(ω4)=14,

но

P(A)P(B)P(C)=18.

Пример 3.2.

Если события A и B независимы, то независимы также события A и B¯¯¯ , A¯¯¯ и B¯¯¯ , A¯¯¯ иB . Для событий A и B¯¯¯ имеем

P(A)=P(AΩ)=P(A(B+B¯¯¯))=P(AB+AB¯¯¯)=P(AB)+P(AB¯¯¯).

Поэтому P(AB¯¯¯)=P(A)−P(AB). Так как A и B независимы, то

P(AB¯¯¯)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)P(B¯¯¯),

т.е., согласно определению 3.1, события A и B¯¯¯ независимы. Независимость остальных событий доказывается аналогично. Утверждение справедливо и для произвольного количества независимых событий.

Пример 3.3.

Если несовместные события A и B имеют ненулевые вероятности, то они зависимы. Действительно, по условию AB=∅. Если бы A и B были независимыми, тогда было бы верно

P(A)P(B)=P(AB)=P(∅)=0,

но левая часть равенства по условию нулю не равна. Следовательно, A и Bзависимы.