§ 12. Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть F(x,y)   — функция распределения случайного вектора Z=col(X,Y). Будет ли F(x,0) функцией распределения некоторой случайной величины?

2. СВ X∼Bi(1;0,2), Y∼Bi(1;0,8). Для СВ Z=X+Y   вычислить FZ(1), считая, что СВ X   и Y   независимы.

3. Случайные величины X∼N(0;1), Y∼E(1). Вычислить M[X3−Y3].

4. Подбрасывают три игральные кости. Рассматриваются случайные величины: X   — количество костей, на которых выпало шесть очков, Y   — количество костей, на которых выпало пять очков. Найти M[X+Y]   и закон распределения СВ Z=X+Y.

5. Задан закон распределения случайного вектора Z=col(X,Y)   (см. табл. 12.1). Требуется:

а) найти закон распределения случайной величиныX+Y;

б) проверить справедливость равенств: M[X+Y]=M[X]+M[Y],D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2kXY.

Таблица 12.1 X\Y -1 1 1 1/6 1/3 2 0 1/6 3 1/3 0

6. Найти ковариацию kcX, где X   — некоторая СВ, а c   — константа.

7. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 3%, а вследствие дефекта В - 4,5%. Годная продукция составляет 95%. Найти коэффициент корреляции дефектов А и В.

8. Случайный вектор Z=col(X,Y)   имеет совместную плотность вероятности

f(x,y)=a(1+x2+x2y2+y2).

Требуется:

а) найти неизвестную константу a;

б) исследовать величины X   и Y на независимость и некоррелированность.

9. Случайный вектор Z=col(X,Y)   имеет функцию распределения

F(x,y)={1+e−(λx+μy)−e−λx−e−μy,   x≥0, y≥0,0−  в остальных случаях.

Найти частные распределения СВ X   и Y. Исследовать эти величины на независимость и некоррелированность.

10. Является ли функция F(x,y)=x⋅y, где x, y∈R1, функцией распределения некоторого случайного вектора?

11. Является ли функция

F(x,y)=1π2(π2+arctgx)(π2+arctgy),   x, y∈R1,

функцией распределения некоторого случайного вектора?

12. Пусть f(x,y)   — плотность вероятности случайного вектора Z=col(X,Y). Будет ли f(x,y)   плотностью вероятности некоторого случайного вектора?

13. Могут ли случайные величины X   и Y   быть и некоррелированными и зависимыми?

14. Известно, что M[X]=1, M[X2]=2. Найти kXX.

15. Известно, что СВ X∼E(1), D[Y]=2, D[X−Y]=3. Найти kXY.

16. Найти коэффициент корреляции между случайными величинами:

а) X   и Y≜18X;

б) X   и Y≜7−2X.

17. Известно, что СВ X∼R(−1, 1). Пусть Y≜cosX. Найти kXY.

18. Компания решила осуществить три независимых проекта по созданию уникальной продукции в единственном экземпляре. Затраты на осуществление каждого проекта одинаковы и равны 1000 у.е. Цена экземпляра продукции, полученного в результате осуществления первого проекта, в 3 раза превышает затраты на его создание. Для оставшихся двух проектов соотношение цены к затратам равно соответственно 5 и 7. Вероятности того, что полученные три экземпляра при установленных ценах найдут сбыт, равны соответственно 0,9, 0,7, 0,55. Найти, во сколько раз средний доход от продажи всей продукции превысит суммарные затраты на ее производство (при условии неизменности цен).

19. У каждого из двух основных предвыборных блоков партий и объединений имеется список из трех наиболее вероятных кандидатур на выдвижение в качестве претендента на пост президента. Рассмотрим случайный вектор Z=col(X,Y), где X   — номер претендента, выдвигаемого для финального тура голосования в списке первого блока, а Y   — аналогичный номер претендента в списке второго блока. Вероятность появления различных пар в финальном туре голосования, согласно оценкам экспертов-политологов, отражена в табл. 12.2 . Определить наиболее вероятных претендентов от каждого блока и коэффициент корреляции между номерами претендентов в финальном туре голосования.

Таблица 12.2 X\Y 1 2 3 1 1/3 1/3 1/27 2 1/27 1/9 1/27 3 1/27 1/27 1/27

20. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составил 6%, причем среди забракованной по признаку А продукции в 4% случаев встречается дефект В, а в продукции, свободной от дефекта А, дефект В встречается в 1% случаев. Найти вероятность встретить дефект В во всей продукции и коэффициент корреляции между признаками А и В.

21. Распределение случайного вектора задано табл. 12.3. Найти закон распределения случайной величины U=X2+Y2−1.

Таблица 12.3 X\Y -1 0 1 -1 0,07 0,1 0,13 1 0,2 0,23 0,27

22. Случайный вектор (X,Y)   равномерно распределен в круге радиуса r   с центром в начале координат. Исследовать СВ X   и Y   на коррелированность и независимость.

23. Две независимые случайные величины X   и Y   подчинены показательному закону: X∼E(λ), Y∼E(μ). Написать выражение совместной плотности вероятности. Подсчитать вероятность попадания СВ Z=col(X,Y)   в квадрат с вершинами A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(1,1).

24. Найти вероятность того, что случайно брошенная точка с координатами (X,Y)   попадет на область D, определенную неравенствами {1≤x≤2,1≤y≤2}, если функция распределения координат этой точки равна

F(x,y)={ 1−2−x2−2−2y2+2−x2−2y2,   x≥0, y≥0, 0− в остальных случаях.

25. Случайный вектор Z=col(X,Y)   имеет плотность вероятности

f(x,y)={ 4xye−(x2+y2),   x≥0, y≥0, 0− в остальных случаях.

26. Плотность распределения вероятностей случайного вектора Z=col(X,Y)   имеет вид

f(x,y)=⎧⎩⎨ c(xy+y2),   0≤x≤2,  0≤y≤2, 0− в остальных случаях.

Найти:

а) постоянную с;

б) вероятность P{X+Y<2};

в) функцию распределения СВ X.

27. Задана функция распределения случайного вектора Z=col(X,Y):

F(x,y)={ 1−2−x−2−y+2−x−y,   x≥0, y≥0, 0− в остальных случаях.

Найти:

а) двумерную плотность распределения случайного вектора Z;

б) вероятность попадания случайной точки с координатами (X,Y)   в треугольник с вершинами A(1,3), B(3,3), C(2,8).