§ 9. Двумерные случайные велчичины

9.3. Типовые задачи

Задача 9.1.

Предприятие имеет две поточные линии по сборке некоторой продукции. Технологические процессы на линиях связаны между собой. Максимальное количество единиц собранной за день продукции для первой линии составляет 1, а для второй 2. Рассмотрим случайные величины: X   — количество единиц продукции, собранной за день на первой линии, а Y   — на второй линии. Совместное распределение этих величин задано табл. 9.2.

Таблица 9.2 Y\X 0 1 0 1/8 0 1 1/4 1/8 2 1/8 3/8

Найти:

а) частные распределения случайных величин X   и Y;

б) распределение, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=X+Y   — суммарного количества единиц продукции, выпускаемой предприятием за день.

Решение. а) Согласно правилам построения частных распределений компонент случайного вектора, получим

P{X=xi}=∑j=13P{X=xi,Y=yi},    i=1,2¯¯¯¯.    (9.1)

Таблица 9.3 X 0 1 P 1/2 1/2

Таблица 9.4 Y 0 1 2 P 1/8 3/8 1/2

Таким образом, получаем ряд распределения СВ X, представленный в табл. 9.3. Аналогичным образом строим ряд распределения для случайной величины Y (см. табл. 9.4).

б) Случайная величина Z   может принимать целые значения от 0 до 3. Определим вероятности, с которыми Z   принимает эти значения:

P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=18,

P{Z=1}=P({X=1,Y=0}+{X=0,Y=1}).

Так как события {X=1,Y=0}   и {X=0,Y=1}   несовместны, то согласно формуле сложения вероятностей имеем

P{Z=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=14.

Аналогично, для других возможных значений Z

P{Z=2}=P{{X=0,Y=2}+{X=1,Y=1}}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1}=18+18=14,

P{Z=3}=P{X=1,Y=2}=38.

Таким образом, ряд распределения случайной величины Z   может быть представлен табл. 9.5.

Таблица 9.5 Z 0 1 2 3 P 1/8 1/4 1/4 3/8

Найдем математическое ожидание и дисперсию СВ Z:

M[Z]=∑i=14zipi=1⋅14+2⋅14+3⋅38=158=1,875,

D[Z]=∑i=14(zi−M[Z])2pi=(−158)218+(1−158)214+(2−158)214+(3−158)238=7164≈1,145.

Ответ.

а) Ряд распределения СВ X   имеет вид табл. 9.3, а ряд распределения СВ Y имеет вид табл. 9.4;

б) ряд распределения СВ Z   имеет вид табл. 9.5, M[Z]=1,875,  D[Z]≈1,145.

■

Задача 9.2.

Пусть двухмесячные объемы продаж продукции некоторого предприятия удовлетворительно описываются двумерным случайным вектором Z=col(X,Y)   с плотностью распределения вероятности

f(x,y)={c,       100≤x≤150,  50≤y≤100,0−     в остальных случаях.

Найти:

а) константу c;

б) функцию распределения F(x,y);

в) исследовать случайные величины X   и Y   на независимость.

Решение.

а) Для нахождения константы

c

  воспользуемся условием нормировки ∫−∞+∞⎛⎝⎜∫−∞+∞f(x,y)dx⎞⎠⎟dy=1. Вычисляя интеграл, получим

∫−∞+∞⎛⎝⎜∫−∞+∞f(x,y)dx⎞⎠⎟dy=∫50100⎛⎝⎜∫100150cdx⎞⎠⎟dy=∫5010050cdy=2500c.

Следовательно, c=12500=4⋅10−4.

б) По определению

F(x,y)=∫−∞y⎛⎝⎜∫−∞xf(t,τ)dt⎞⎠⎟dτ.

В нашем случае при x<100   или y<50   имеем f(x,y)=0, а, следовательно, и F(x,y)=0.

Если 100≤x<150   и 50≤y≤100, то, подставив найденную плотность вероятности в выражение для F(x,y), получим

∫50y⎛⎝⎜∫100x12500dτ⎞⎠⎟dt=∫50y12500(x−100)dτ=12500(x−100)(y−50).

Если 100≤x<150, а y≥100, то

F(x,y)=∫100x⎛⎝⎜∫50yf(t,τ)dτ⎞⎠⎟dt=∫100z⎛⎝⎜∫5010012500dτ⎞⎠⎟dt+∫100x⎛⎝⎜∫100y0dτ⎞⎠⎟dt=150(x−100).

Если x≥150, а 50<y≤100, имеем

F(x,y)=∫100x⎛⎝⎜∫50yf(t,τ)dτ⎞⎠⎟dt=∫100150⎛⎝⎜∫50y12500dτ⎞⎠⎟dt+∫150x⎛⎝⎜∫50y0dτ⎞⎠⎟dt=(y−50)150.

При x≥150,  y≥100

F(x,y)=∫100150⎛⎝⎜∫5010012500dτ⎞⎠⎟dt+∫150x⎛⎝⎜∫100y0dτ⎞⎠⎟dt=1.

Таким образом,

F(x,y)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,                                       x≤100   или   y≤50,(x−100)(y−50)/2500,   100≤x<150,  50<y≤100,(x−100)/50,                    100≤x<150,  y≥100,(y−50)/50,                      50≤y<100,  x≥150,1,                                      150≤x,  100≤y. (9.2)

в) Чтобы исследовать компоненты случайного вектора Z   на независимость, найдем их частные распределения:

FX(x)=F(x,+∞)=⎧⎩⎨⎪⎪0,                       x<100,(x−100)/50,     100≤x<150,1,                        x≥150,

FY(y)=F(+∞,y)=⎧⎩⎨⎪⎪0,                       y<50,(y−50)/50,     50≤y<100,1,                        y≥100.

Очевидно, что F(x,y)=FX(x)⋅FY(y)   для всех x,y∈R1. Следовательно, СВ X   и Y   независимы.

Ответ.

а) c=4⋅10−4;

б) см. формулу (9.2);

в) СВ X   и Y   независимы.

■

Задача 9.3.

Случайные величины X   и Y   независимы. Случайная величина X   распределена по нормальному закону с параметрами mX=0, σ2X=1/2. Случайная величина Y   равномерно распределена на отрезке [0,1]. Требуется найти:

а) плотность вероятности случайного вектора Z=col(X,Y);

б) функцию распределения случайного вектора Z;

в) вероятность попадания СВ Z   в область D={−1≤X≤1,|Y|≤0,5}.

Решение. а) Плотности вероятностей СВ X   и Y   выглядят следующим образом:

fX(x)=1π√e−x2,

fY(y)={1,     y∈[0,1],0,     y∉[0,1].

Так как СВ X   и Y   независимы, то плотность вероятности случайного вектора Z   представляется в виде fZ(x,y)=fX(x)fY(y). В данном случае

fZ(x,y)={1π√e−x2,     y∈[0,1],0,                y∉[0,1].

(9.3)

б) Найдем функцию распределения. Двумерная функция распределения независимых случайных величин, по определению, имеет вид: FZ(x,y)=FX(x)FY(y). Выпишем одномерные функции распределения СВ X   и Y

FX(x)=∫−∞x1π√e−t2dt,     FY(y)=⎧⎩⎨0,     y<0,y,     0≤y<1,1,      y≥1.

Тогда

FZ(x,y)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,                        y<0,y∫−∞x1π√e−t2dt,     0≤y<1,∫−∞x1π√e−t2dt,        y≥1.

(9.4)

Пользуясь представлением гауссовской функции распределения через функцию Лапласа, можно записать выражение (9.4) следующим образом:

FZ(x,y)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,                                   y<0,y(Φ0(2√x)+12),        0≤y<1,Φ0(2√x)+12,                y≥1.

(9.5)

в) Область D={−1≤x≤1,|y|≤0,5}   представляет собой прямоугольник. Вероятность попадания в него вычисляется следующим образом:

P{Z∈D}=∫−11⎛⎝⎜∫−0,50,5fZ(x,y)dy⎞⎠⎟dx=∫−111π√e−x2dx∫00,51dy=12⋅2Φ0(2√⋅1)=Φ0(2√)≈0,42,

Вероятность попадания СВ Z   в прямоугольник может быть найдена и другим способом:

P{−1≤X≤1,−0,5≤Y≤0,5}=P{X≤1,Y≤0,5}−

-P{X≤−1,Y≤0,5}−P{X≤1,Y≤−0,5}+P{X≤−1,Y≤−0,5}=

=FZ(1, 0,5)−FZ(−1, 0,5)−FZ(1, −0,5)+FZ(−1, −0,5)=

=12(Φ0(1⋅2√)+0,5)−12(0,5−Φ0(1⋅2√))=Φ0(2√)≈0,42.

Ответ.

а) Плотность распределения СВ Z   имеет вид (9.3);

б) функция распределения СВ Z   имеет вид (9.5);

в) P{Z∈D}≈0,42.

■