Тема 6. Построение моделей динамики объектов управления по экспериментальным данным

6.1. Понятие моделей динамики и их типы

6.2. Способы построения моделей импульсной переходной функции

6.3. Корреляционный метод идентификации

6.4. Методы решения уравнения Винера-Хопфа в дискретной форме

6.4.1. Вычисление оценки вектора неизвестных параметров на основе первых l уравнений

6.4.2. Вычисление оценки вектора неизвестных параметров на основе N>l уравнений

6.5. Использование корреляционного метода при подаче на вход псевдослучайного двоичного сигнала (ПСДС)

Понятие моделей динамики и их типы

 Модели динамики позволяют описывать весь процесс перехода из одного состояния в другое, в отличие от моделей статики.

Модели динамики задаются в виде оператора той или иной структуры. Для линейных объектов чаще всего используется импульсная переходная функция  , либо модель пространства состояний.

Для нелинейных объектов обычно используются модели в виде функционально-степенных рядов, либо модели пространства состояний.

Способы построения моделей импульсной переходной функции

Непосредственно определение импульсной переходной функции невозможно, т.к.:

1) невозможно подать на вход  -функцию; 2) на выходе существует аддитивная случайная составляющая;

Возможны два способа представления неизвестной импульсной переходной функции:

1.Задание импульсной переходной функции в виде набора ординат

- дискретное время памяти

Обычно,  выбирают, чтобы обеспечить качественную аппроксимацию импульсной переходной функции по дискретным отсчетам; размерность вектора неизвестных параметров  должна быть сравнительно небольшой  .  

Недостатки задания импульсной переходной функции в виде набора ординат: 1) неаналитичность решения; 2) большая размерность вектора неизвестных параметров.

2.Разложение импульсной переходной функции по заданной системе базисных функций.

- коэффициенты разложения, - параметр затухания базисных функций, который в общем случае также неизвестен.

Размерность вектора неизвестных параметров q=k+1. Преимущество разложения импульсной переходной функции по заданной системе базисных функций - резкое уменьшение размерности вектора неизвестных параметров  . Недостатком этого способа является усложнение структуры модели.

В качестве базисных функций для разложения импульсной переходной функции используются функции Лагерра:

Функции Лагерра обладают следующими свойствами:

1) все функции начинаются из одной точки; 2) i-ая функция Лагерра пересекает ось времени (i-1) раз; 3) скорость затухания i-ой функции Лагерра меньше скорости затухания (i-1)-ой функции Лагерра.

Чем меньше время памяти, тем больше величина параметра  . Параметр  выбирается таким образом, чтобы все базисные функции за время памяти 'затухали' до достаточно малого значения.

Корреляционный метод идентификации

Корреляционный метод идентификации предназначен для определения оценок ординат импульсной переходной функции. В основе метода лежит интегральное уравнение Винера-Хопфа:

- автокорреляционная функция входного сигнала; - взаимнокорреляционная функция выходного сигнала y(t) и входного сигнала u(t).

Поскольку в реальных условиях автокорреляционная функция выходного сигнала и взаимнокорреляционная функция выходного и входного сигналов не могут быть найдены точно, то данный метод может быть использован для определения оценки импульсной переходной функции на основе оценок автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций.

Замена бесконечности на время переходного процесса вносит определенную погрешность в модель, так как:

1. время переходного процесса неизвестно точно; 2. 

При использовании оценок корреляционной функции корреляционный метод идентификации становится некорректной задачей.

По А.Н.Тихонову задача называется некорректной, если ошибка ее решения на порядок и выше превосходит ошибку исходных данных.

Задача называется корректной, если ошибки исходных данных и решения соизмеримы.

Причина некорректности - интегральный характер уравнения Винера-Хопфа (интегральный характер свертки).

В уравнении используется произведение двух негладких функций (оценка автокорреляционной функции входного сигнала и оценка импульсной переходной функции), левая часть уравнения представляет собой оценку взаимнокорреляционной функции выходного и входного сигналов, которая также является негладкой функцией, степень негладкости которой такая же, как у одной из функций подинтегрального произведения. Это может быть только тогда, когда степень негладкости второй функции подинтегрального произведения значительно выше.