Планирование эксперимента в условиях дискретного дрейфа

Предположим, что надо исследовать влияние трех количественных факторов при необходимости проведения всех опытов в две серии:

n=3; число опытов - 2^3.

Нужно получить линейную модель: 

Для разбиения ПФЭ на две серии используется следующий прием: в качестве первого блока используется полуреплика  с генерирующим соотношением  , а в качестве второго блока - полуреплика  с генерирующим соотношением  .

Каждый из полученных блоков полностью ортогонален, т.е. все столбцы полностью ортогональны. Поскольку в первом блоке тройное взаимодействие равно +1, а во втором -1 , то это взаимодействие можно принять в качестве дополнительного фактора, который будем называть межблоковым дрейфом и обозначать  .

Покажем, что при таком планировании оценки неизвестных коэффициентов модели не зависят от дрейфа. Обозначим результаты первого блока  соответственно, результаты второго блока -  , где  - систематическое смещение выхода, вызванное изменением условий проведения эксперимента.

Найдем оценку коэффициентов:

Аналогично можно показать, что оценки всех остальных коэффициентов модели не зависят от дрейфа как и коэффициент  .

Оценим коэффициент при дрейфе  :

Если необходимо исследовать влияние четырех факторов и необходимо провести опыты в две серии, то блоки будут следующие:

I блок - полуреплика 2^4-1; ГС: 

II блок - полуреплика 2^4-1; ГС: 

Если необходимо разбить план на четыре блока:

I блок 1/4 реплики 2^4-2; ГС:

II блок 1/4 реплики 2^4-2; ГС:

III c блок 1/4 реплики 2^4-2; ГС:

IV блок 1/4 реплики 2^4-2; ГС:    

Планирование в условиях линейного непрерывного дрейфа.

Данное планирование используется тогда, когда при стабильном входе происходит изменение выхода на одну и ту же величину.

В этом случае можно построить регрессионную модель, связывающую вход с количественными факторами планирования и описывающую дрейф. Предварительно нужно убедиться, что дрейф линейный.

Если объект подвержен линейному дрейфу, то опыты нужно проводить через одно и то же время:  , где  - время переходного процесса по i-ому каналу.

Для построения модели, ортогональной линейному дрейфу можно использовать планы типа  ПФЭ, если выполняется следующее условие: 

При этом первые L+1 столбцов матрицы базисных функций F используются для представления линейного дрейфа. Остальные столбцы матрицы F используются для планирования и задания парных взаимодействий.

Рассмотрим пример.

Необходимо построить модель вида  при наличии линейного дрейфа. При этом 

Модель дрейфа запишем в виде: 

Запишем матрицу базисных функций:

После реализации плана u₁, u₂ на объекте через одинаковые интервалы времени и определения значений выхода необходимо вычислить МНК-оценки всех неизвестных коэффициентов модели:  . В результате получается модель вида:

Если дрейф нелинейный, то можно использовать ту же методику планирования, если опыты проводить через неодинаковые интервалы времени при условии, что за время между двумя соседними опытами дрейф имеет одинаковые значения.

Тема 18. Планирование эксперимента при наличии количественных и качественных факторов

18.1. Постановка задачи планирования эксперимента при наличии качественных факторов

18.2. Решение задач планирования с использованием совмещенных планов

18.3. Примеры совмещенных планов

18.4. Обработка информации по схеме однофакторного дисперсионного анализа

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

ПРИ НАЛИЧИИ КАЧЕСТВЕННЫХ ФАКТОРОВ

При наличии качественных факторов задача планирования ставится следующим образом: необходимо спланировать эксперимент так, чтобы выяснить влияние качественных факторов на выход объекта, т.е. определить, есть ли это влияние вообще и если это влияние существенно, то построить регрессионные модели, соответствующие различным " значениям " качественных факторов.    

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПЛАНИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СОВМЕЩЕННЫХ ПЛАНОВ

Решение задачи планирования при наличии количественных и качественных факторов производится с использованием совмещенных планов. Основу их составляют латинские, греко-латинские и гипер-греко-латинские квадраты.

Латинский квадрат.

Латинским квадратом называется квадратная матрица размерности ( ), элементами которой являются латинские буквы. При этом каждая из n букв в каждом столбце и в каждой строке встречается один раз.

Если по диагонали квадрата идет одна и та же буква, то латинский квадрат называется каноническим.

Латинские квадраты используются для кодирования уровней качественного фактора.

При планировании латинский квадрат используется в рандомизированном виде, т.е. его строки и столбцы расположены случайным образом.

Греко-латинский квадрат.

Греко-латинский квадрат используется в случае, если число качественных факторов равно двум. Это тоже квадратная  матрица, элементами которой являются две буквы - одна латинская, другая греческая. В греко-латинском квадрате комбинация греческой и латинской буквы встречается всего один раз.

Объединив данные латинский и греческий квадраты, мы не получим греко-латинского квадрата:

Поменяв местами вторую и третью строки греческого квадрата и объединив полученные латинский и греческий квадраты, получим греко-латинский квадрат:

Гипер-греко-латинский квадрат.

Гипер-греко-латинский квадрат используется, когда число качественных факторов равно трем. Это тоже квадратная матрица, каждый элемент которой состоит из греческой буквы, латинской буквы и цифры. Основным признаком является то, что каждая комбинация во всей матрице встречается один раз.

ПРИМЕРЫ СОВМЕЩЕННЫХ ПЛАНОВ

Простейшим совмещенным планом является план, основанный на латинском квадрате размерности n и варьировании количественных факторов на n-уровнях при этом число количественных факторов равно двум.

Рассмотрим пример.

Пусть необходимо исследовать влияние трех факторов А, В, С. При этом А и В - количественные факторы, а С - качественный фактор. Предположим, что n=3, т.е. качественный фактор может быть трехуровневый. Обозначим уровни качественного фактора как  , а уровни количественных факторов -  и  . В этом случае совмещенный план имеет вид:  

A	B

Перед реализацией данный план должен быть рандомизирован:  

A	B

Данный план предполагает проведение девяти опытов:

1 опыт: 

2 опыт: 

3 опыт: 

4 опыт: 

5 опыт: 

6 опыт: 

7 опыт: 

8 опыт: 

9 опыт: 

В результате проведения опытов получаем вектор результатов проведения опытов.

После реализации плана на объекте необходимо проверить гипотезы о наличии связей между всеми факторами (качественными и количественными ) и выводом объекта. Проверка этих гипотез происходит по схеме дисперсионного анализа с использованием критерия Фишера (F). При этом если число качественных факторов равно 1, то используется однофакторный дисперсионный анализ, если 2 - двухфакторный и т.д. В нашем примере используется схема однофакторного дисперсионного анализа.

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ ПО СХЕМЕ ОДНОФАКТОРНОГО ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

В основе дисперсионного однофакторного анализа лежит модель:

Эта модель записана относительно дисперсий, т.е. она предполагает, что дисперсия изменения выхода переменной y обусловлено изменением количественных факторов а и в, качественного фактора с и наличием шума.

При этом  - эффект строки (при переходе от одной строки к другой меняется значение выхода);  - эффект столбца (влияние изменения уровня второго количественного фактора );  - эффект латинской буквы (влияние качественного фактора на выход);  - неучтенный шум;  - постоянная составляющая.

Критерий Фишера предполагает, что дисперсия одного выхода равна дисперсии какого-либо фактора. Т.е. дисперсия выхода представляется как сумма четырех дисперсий:

1) дисперсия, обусловленная изменением фактора а;

2) дисперсия, обусловленная изменением фактора в;

3) дисперсия, обусловленная изменением качественного фактора с;

4) дисперсия внешнего шума.

При этом, если справедлива гипотеза о равенстве дисперсии внешнего шума к дисперсии, обусловленной влиянием того или иного фактора, то соответствующий эффект принимается как нулевой.

Схема вычислений:

1) Вычисляем итоги по строкам, по столбцам и по латинским буквам:

2) Находим 

3) Находим 

4) Находим 

5) Находим 

6) Находим 

7) Находим 

8) Находим 

9) Находим 

10) Находим общую сумму квадратов: 

11) Находим остаточную сумму квадратов (характеризует дисперсию шума):

Число степеней свободы для дисперсий, обусловленных изменениями факторов, равно N-1, т.е.:

Число степеней свободы для дисперсии внешнего шума (n-1)(n-2).

Отсюда:

Для проверки гипотезы о равенстве  нужно найти отношение  , а затем сравним его с квантилем распределения Фишера:

Аналогично необходимо проверить гипотезы для факторов в и с. В результате дисперсионного анализа определяются количественные и качественные факторы, существенно влияющие на выход объекта. Если в данном случае качественный фактор существенно влияет на выход, то необходимо построить n регрессионных моделей, связывающих выход объекта с существующими количественными факторами, каждый из которых соответствует одному из возможных уровней качественного фактора.