Проверка адекватности.

Проверка адекватности сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсии адекватности и дисперсии внешнего шума:  .

Дисперсия адекватности характеризует точность предсказания выхода по модели, то есть это дисперсия случайной величины, которая является разностью между экспериментальным значением выхода и значением выхода, рассчитанным по модели.

1.  -оценка дисперсии внешнего шума.

2. 

Отношение  - F-распределение (по закону Фишера)

Если выполняется неравенство  , то модель признается адекватной экспериментальным данным. В противном случае, модель не адекватна, то есть структура модели выбрана неверно. Ее необходимо изменить и для новой структуры провести все исследование.

Квантиль ( ) должен удовлетворять трем условиям  ,

где  -уровень значимости;

- число степеней свободы числителя дисперсионного отношения;

- число степеней свободы знаменателя дисперсионного отношения.

Для определения  используется справочник, но предварительно выбирается конкретное значение  .

   

Расчет доверительных интервалов.

Задаем конкретное значение входа  :

Доверительный интервал- это интервал возможных значений нашей величины.

В рассчитанный интервал с вероятностью  попадает истинное значение  .

Ширина доверительного интервала определяет точность модели регрессии. Чем уже доверительный интервал, тем более точная модель регрессии.

Тема 5. Построение моделей статики в случае нелинейной параметризации

5.1. Нелинейные методы оценивания

5.2. Метод Гаусса-Ньютона

5.3. Метод Хартли

5.4. Метод Марквардта

Нелинейные методы оценивания

Нелинейно-параметризованная модель может быть представлена в виде: 

Оценивание неизвестных параметров нелинейно-параметризованных моделей возможно нелинейными методами наименьших квадратов. Наиболее распространенными являются:

метод Гаусса-Ньютона; метод Хартли; метод Марквардта.

Метод Гаусса-Ньютона

Имеется модель  Задается исходное начальное приближение  . Функция регрессии раскладывается в ряд Тейлора в окрестности начального приближения, при этом в разложении используют только свободные член и линейный член, то есть осуществляют линеаризацию модели в окрестности  .

По МНК находят оценку  , то есть оценку разности между истинным значением  и  :  . Находится приближение:  . Далее функция раскладывается в ряд Тейлора в окрестности  . Находится  и так далее. Процедура заканчивается на той операции, на которой норма вектора  становится меньше некоторой, достаточно малой, величины  .

Получена линеаризованная по параметрам модель, в которой неизвестны коэффициенты  . Оценка  возможна МНК.

Каждый элемент суммы представляет собой матрицу размером q*q, являющуюся информационной матрицей Фишера для одного измерения входа-выхода.

В общем виде алгоритм Гаусса-Ньютона можно записать следующим образом:

Метод Хартли

Процедура Хартли отличается от процедуры Гаусса-Ньютона тем, что используются не все значения  , а только часть его.    

Метод Марквардта

Метод Марквардта отличается тем, что вместо матрицы М используется матрица  , где I- единичная матрица. Говорят, что матрица  лучше обусловлена (имеет определитель больше, чем у матрицы М).