Тема 14. D - оптимальное планирование

14.1. D - оптимальные планы

14.2. Процедура непрерывного планирования (пнп)

D - ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ

Поскольку D и G-критерии эквивалентны, при синтезе D-оптимальных планов целесообразнее опираться на критерий G-оптимальности, то есть условие: 

Построение непрерывных D-оптимальных планов осуществляется с помощью процедуры непрерывного планирования (ПНП) Вучкова-Соколова-Федорова.

Синтез точных планов предполагает решение многомерной задачи комбинаторного анализа, что не всегда возможно на практике. Поэтому проще решать задачу планирования D-оптимального эксперимента в следующей последовательности:

1) синтезировать D-оптимальный план с помощью процедуры непрерывного планирования (ПНП); 2) задать приемлемое число экспериментов; 3) округлить непрерывный план.    

Процедура непрерывного планирования (ПНП)

Это поэтапная процедура, на каждом этапе которой решается задача синтеза одной точки искомого непрерывного D-оптимального плана, для чего решается задача, задаваемая следующими матричными выражениями:

где N - номер этапа процедуры;

d - дисперсия предсказания выхода.

Процедура реализуется с помощью двух матричных выражений:

первое выражение реализует задачу нахождения точки  , принадлежащей пространству планирования ( ), где дисперсия предсказания выхода максимальна;

второе выражение реализует включение точки  в план эксперимента; то есть коррекции информационной матрицы Фишера.

- точка, где модель работает хуже всего; поэтому здесь нужно провести еще один эксперимент.

Покажем, что информационная матрица Фишера для N+1 опыта равна сумме информационных матриц для каждого опыта.

Пусть 

Информационная матрица для четырех опытов.

Покажем это в общем виде.

Обычно ПНП реализуется в следующей последовательности:

Задается произвольный невырожденный план, то есть план, на основе которого можно оценить все неизвестные коэффициенты модели, для которой синтезируется D-оптимальный план.

План называется невырожденным, если определитель соответствующей ему информационной матрицы не равен нулю. При этом необходимо, чтобы число опытов было больше числа коэффициентов, то есть  .

Обычно в качестве начального плана используются известные для данной модели планы (ПФЭ, ДФЭ). Если же известные планы не подходят, то можно использовать произвольный план из  точек. Сначала нужно убедиться, что он невырожденный.

Данная процедура используется дважды при синтезе D-оптимального плана:

1) для определения спектра плана;

2) для определения частот повторения наблюдения.

На этапе определения спектра поиск глобального максимума квадратичной формы производится по всем точкам пространства планирования. При этом используется один из методов статической оптимизации (например, симплекс-метод). Поэтому при синтезе D-оптимальных планов необходимо исследовать соответствующую квадратичную форму и постараться упростить задачу поиска глобального максимума. Результатом такого решения должно быть сокращение пространства поиска глобального максимума.

ПНП реализуется в следующей последовательности:

1) задается начальный план ( точек);

2) для него вычисляется информационная матрица  , полученная матрица подставляется в первое уравнение, решается задача оптимизации и находится точка  . Задача оптимизации решается методом сеток

3) точка  включается в план, становится  и происходит корректировка информационной матрицы;

4) полученное значение информационной матрицы  подставляется в первое уравнение;

5) находится новая точка  , которая вновь включается в план, корректируется информационная матрица и т. д.

Процедура реализуется до тех пор, пока максимальное значение дисперсии предсказания выхода не станет близким к .

Однако на этапе определения спектра нет необходимости повторять этапы ПНП до выполнения правила останова вида: , т.к. для этого требуется много машинного времени для решения задачи на каждом этапе.

В ПНП используется ковариационная матрица с  , так как при решении задачи оптимизации умножение функции на константу не изменяет координаты ее экстремума.

Известно, что для выявления спектра непрерывного D-оптимального плана этапы ПНП достаточно повторить  раз, так как спектр плана включает не более, чем  точек, где q-число коэффициентов модели.

На этапе определения частот также используется ПНП, но во-первых, в качестве начального плана используется план, включающий по одному разу все точки спектра; во-вторых, поиск максимума квадратичной формы производится лишь в точках спектра плана (в других точках максимума быть не может); в качестве начального плана берется такой план, который не включает "лишних" точек, в которых наверняка нет максимума; в-третьих, ПНП реализуется до выполнения правила останова.

В качестве D-оптимального плана принимается план, включающий начальный план этапа определения частот, то есть все точки спектра и все точки  , определенные на итерациях процедуры вплоть до выполнения правила останова.

После определения последовательности точек непрерывного D-оптимального плана необходимо рассчитать частоты повторения наблюдений в точках спектра. Совокупность частот и спектра и определяет искомый D-оптимальный план. При реализации плана на объекте можно придерживаться той последовательности точек, которая была получена на этапе определения частот.

Если полученная последовательность точек плана при приемлемом числе экспериментов близка к D-оптимальной, то реализация плана на объекте может быть осуществлена путем ее предварительной рандомизации.

Если же при заданном числе опытов полученная последовательность точек сильно отличается от D-оптимальной последовательности, то необходимо воспользоваться непрерывным D-оптимальным планом с заданным спектром и частотами, округлить его до N, определить число повторений в каждой точке спектра и рандомизировать полученную таким образом последовательность опытов.