Методы решения уравнения винера-хопфа в дискретной форме

Интегральное уравнение Винера - Хопфа и его дискретная форма имеют вид:

Неизвестными являются  ординат. Исходными данными для получения системы уравнений являются:

Таким образом, получена система (N+1) алгебраических уравнений с  неизвестными:

Возможны две постановки задачи вычисления оценок ординат импульсной переходной функции:

1. использование первых  уравнений системы; 2. использование более  уравнений системы.

При первом подходе оценка вектора неизвестных параметров находится путем решения системы алгебраических уравнений, при втором - вычисляется МНК-оценка вектора неизвестных параметров.    

Вычисление оценки вектора неивестных параметров на основе первых уравнений

Обозначим через 

Запишем полученную систему в матричной форме: 

Решением этой системы является  :  .

Некорректность корреляционного метода имеет место при плохо обусловленной или сингулярной матрице  .

Матрица плохо обусловлена, если ее определитель близок к нулю.

Для применения корреляционного метода в реальных условиях можно использовать один из приемов регуляризации некорректных задач (сведение некорректных задач к корректным).

Существуют два основных приема регуляризации:

1. квазидиагонализация матрицы  ; 2. сглаживание получаемого решения.

В данном случае используется первый прием - вместо матрицы  используется матрица  .

,

       где  - параметр регуляризации,        I - единичная матрица размерности  .

Параметр определяют в процессе эксперимента.

Недостатком первого приема регуляризации является получение смещенной оценки вектора неизвестных параметров (математическое ожидание оценки вектора неизвестных параметров не равно оценке вектора неизвестных параметров). Смещение оценки вектора неизвестных параметров можно оценить после получения оценки импульсной переходной функции.

Недостаток второго приема регуляризации - невысокая точность оценивания импульсной переходной функции.  

Вычисление оценки вектора неизвестных параметров на основе уравнений.

При вычислении оценки вектора неизвестных параметров на основе  уравнений используется метод наименьших квадратов

, где 

Задача может быть некорректной, если матрица  плохо обусловлена. Для приведения задачи к корректному виду используют первый или второй приемы регуляризации или подают на вход объекта управления псевдослучайный двоичный сигнал:

1. квазидиагонализация матрицы  :

2. сглаживание получаемого решения, то есть оценка ординат импульсной переходной функции находится из условия:

Таким образом, данный критерий обеспечивает получение оценки импульсной переходной функции в классе медленно меняющихся функций.    

Использование корреляционного метода при подаче на вход псевдослучайного двоичного сигнала (псдс).

Предположим, что на вход подан сигнал типа 'белый шум'.

При подаче на вход объекта 'белого шума' взаимно корреляционная функция выхода и входа с точностью до коэффициента А равна импульсной переходной функции.

Задача корректна, так как ошибка исходных данных равна ошибке оценки импульсной переходной функции, т.е.  .

В реальных условиях 'белый шум' не реализуем во всем интервале частот  , но известны псевдослучайные сигналы, автокорреляционная функция которых близка к  -функции, а спектральная плотность практически постоянна в определенном интервале частот.

Псевдослучайные двоичные сигналы легко получить с помощью простейших регистров сдвига с обратной связью по модулю 2, при этом структура регистра и обратная связь определяются так называемым примитивным полиномом, который порождает М-последовательность, определяющую один период псевдослучайного двоичного сигнала.

Рассмотрим, как для нашего примера получить ПСДС.  

М-последовательность: 

Преимуществом активного корреляционного метода является так же получение оценки импульсной переходной функции в аналитическом виде.

Тема 7. Динамический регрессионный анализ

7.1. Задачи динамического регрессионного анализа

7.2. Представление импульсной переходной функции набором ординат, вычисление оценок ординат

7.3. Разложение импульсной переходной функции по заданной системе базисных функций

7.3.1. Построение модели при известном значении параметра α

7.3.2. Построение модели при неизвестном значении параметра α