Построение d-оптимальных моделей, соответствующих разложению импульсной переходной функции по системе базисных функций

Структура такой модели была получена в виде:

Эта модель соответствует разложению импульсной переходной функции по системе базисных функций:

- вектор неизвестных параметров.

Анализируя структуру линейно-комбинационной модели, легко видеть, что для нее неизвестны оптимальные планы. Для данной модели синтезировать ортогональный или рототабельный план невозможно, поэтому будем использовать критерий D-оптимальности.

Будем рассматривать два подхода к построению D-оптимальной линейно-комбинационной модели:

1. Построение D-оптимальной линейно-параметризованной модели.

2. Построение нелинейно-параметризованной D-оптимальной модели.

При первом подходе будем решать задачу априорного планирования эксперимента и задачу априорного синтеза D-оптимального тестирующего сигнала. При втором подходе будем использовать теорию последовательного планирования эксперимента и синтезировать локальный D-оптимальный тестирующий сигнал в реальном масштабе времени.    

ПОСТРОЕНИЕ D-ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЗОВАННОЙ, ЛИНЕЙНО-КОМБИНАЦИОННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ

Априорная оценка параметра затухания системы базисных функций равна:

Вектор неизвестных параметров модели:

Мы должны построить модель, для которой  .

Для этого необходимо найти D-оптимальный план для линейно-комбинационной модели при известном  и построить тестирующий сигнал на основе этого плана, то есть построить непрерывный D-оптимальный тестирующий сигнал.

- факторы планирования.

Синтез непрерывного D-оптимального плана будем производить на основе ПНП:

В качестве начального плана можно использовать любой ортогональный план (ПФЭ и ДФЭ и другие), а в качестве начального участка тестирующего сигнала использовать соответствующий сигнал, предназначенный для восстановления ординат.

Этот план предполагает  измерений выхода. Вычисление информационной матрицы 

Рассмотрим особенности реализации ПНП для линейно-комбинационной модели.

Важное значение имеет исследование дисперсионной функции  и определение множества точек пространства планирования, в котором она может достигать глобального максимума. После нахождения такого множества поиск глобального максимума можно производить путем вычисления дисперсионной функции в точках этого множества и выбирать ту точку, где дисперсия максимальна.

Наша дисперсионная функция .

Таким образом, мы показали, что дисперсионная функция является квадратичной формой относительно вектора  . Отсюда следует, что максимумы этой функции могут достигаться лишь на границах области планирования. Отсюда следует, что синтезируемый D-оптимальный тестирующий сигнал является двухуровневым, то есть может принимать значения ╠ 1. Таким образом, мы показали, что только в вершинах пространства планирования дисперсионная функция может достигать глобальных максимумов, число которых равно  . Очевидно, что в симметричных точках пространства планирования дисперсия предсказания выхода одинакова.

- симметричная точка.

Таким образом, мы показали, что симметричные участки тестирующего сигнала эквивалентны. Это свойство необходимо использовать при сливании строк матрицы планирования с целью уменьшения длины соответствующего сигнала. Это свойство позволяет в два раза сократить число просматриваемых точек пространства планирования, то есть число просматриваемых точек будет  .

Известна теорема, согласно которой необходимо просматривать лишь те вершины пространства планирования, которым соответствуют участки сигнала, имеющие не более (k-1) переключения.

Предположим, что к=3.

0 переключений

участки с 1-им переключением

участки с 2-мя переключениями

- число вариантов

Реализация ПНП в данной задаче производится также как и в задаче статики с учетом результатов данной теоремы.

На первой итерации определяется оптимальная глубина памяти ( ). В результате находится план и строится тестирующий сигнал, построение которого производится также, как и восстановление ординат с учетом эквивалентности симметричных участков сигнала.

Тема 16. Управление экспериментом при построении нелинейно-параметризованной D-оптимальной линейно-комбинационной модели

16.1. Процедура последовательной D-оптимальной идентификации (ДППИ)

16.2. Особенности реализации ДППИ

16.3. Прогнозирование НМНК оценок неизвестных параметров

16.4. Особенности синтеза нелинейных D-оптимальных моделей динамики

16.5. Построение D-оптимальных моделей пространства состояний

ПРОЦЕДУРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ D-ОПТИМАЛЬНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ (ДППИ).

Зададим линейно-комбинационную модель следующим образом :

Задача сводится к нахождению вектора  , а точнее его оптимального значения и его ковариационной матрицы.

Поскольку модель нелинейно-параметризованная, будем опираться на теорию последовательного планирования эксперимента, а именно на D-оптимальную процедуру последовательной идентификации (ДППИ).

D-оптимальная процедура последовательной идентификации может быть сформулирована следующим образом: объект исследования возбуждается в момент времени  путем подачи на его вход некоторого "затравочного" тестирующего сигнала протяженностью  . Затравочный тестирующий сигнал должен обеспечивать возможность оценивания элементов вектора  , причем при оценке опираемся на теорию нелинейного оценивания статических моделей.

Начиная с момента времени ( ) в течение времени  вычисляются оценки элементов вектора  и синтезируется первичный участок локального D-оптимального тестирующего сигнала. С момента времени  . Протяженность участка после  будет либо равна  , если производится планирование одного измерения, либо больше  , если производится планирование более одного измерения.

После окончания реализации первого участка сигнала и проведения всех запланированных измерений выхода необходимо уточнить НМНК оценки вектора  и синтезировать второй участок локального D-оптимального плана, проверив перед этим правило останова ДППИ. Уточнение производится с учетом всех ранее произведенных измерений выхода, включая измерения этапа затравочного тестирования.

После синтеза второго участка сигнала он подается на вход объекта, и процедура повторяется вплоть до выполнения правила останова. Правило останова ДППИ то же, что и для моделей статики. Таким образом, в процессе реализации в реальном времени осуществляется синтез участков локального D-оптимального тестирующего сигнала и поэтапное уточнение НМНК оценок параметров модели. По окончании ДППИ получается близкая к D-оптимальной нелинейно-параметризованная динамическая регрессионная модель.

В результате эксперимента имеем неоптимальные участки ( ). Для обеспечения непрерывности сигнала необходимо заполнить эти неоптимальные интервалы длительностью  каждый. Возможно несколько подходов.

I подход применим, если время расчета меньше шага дискретизации ( )., Тогда, если симметричные участки локального D-оптимального тестирующего сигнала эквивалентны, то на вход объектов в течение интервалов  можно подавать сигнал либо верхнего, либо нижнего уровня, если синтезируемый сигнал двухуровневый. Однако предварительно нужно доказать двухуровневость сигнала и эквивалентность его симметричных участков.

При этом обеспечивается сокращение длины сигнала на  , где N - общее число реализованных этапов за счет исключения из реализации участков расчета планирование каждого этапа. То есть уточнение оценок и синтез каждого участка сигнала производится параллельно с тестированием объекта в начале реализации планируемого этапа.

II подход применим, если время расчета больше шага дискретизации ( ). При этом непрерывность тестирующего сигнала может быть обеспечен, если планирование каждого этапа ДППИ производить в конце реализации предыдущего этапа, и использовать при этом прогнозируемое значение вектора НМНК оценок к моменту окончания реализации предыдущего этапа. В этом случае планирование каждого этапа осуществляется в конце реализации предыдущего в отличие от первого подхода, когда планирование осуществляется в начале следующего этапа. В данном случае сигнал хуже, так как предполагает планирование не строго локальных D-оптимальных участков из-за замены НМНК оценоких прогнозируемыми значениями.    

ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ДППИ.

Вычисление начальной оценки  по результатам затравочного тестирования производится по методике пассивного эксперимента методом Гаусса-Ньютона. Начальное приближение определяется из предположения, что  известно.

Планирование этапов осуществляется путем решения следующей аргументной задачи:

При планировании эксперимента в задачах нелинейного оценивания нормирование факторов не производится, поэтому в данной задаче пространство планирования определяется следующей системой неравенств:

При этом предполагается, что:  ,

где  и  - значения входа и выхода объекта в исходном статическом состоянии;

и  - истинные дискретные значения входа и выхода;

и  - отклонения.

Для того, чтобы решить задачу проанализируем дисперсионную функцию:

Покажем, что квадратичная форма относительно вектора  является квадратичной формой относительно вектора факторов планирования.

Таким образом, участки локальных D-оптимальных тестирующих сигналов для линейно-комбинационной модели являются двухуровневыми ( ), а симметричные участки сигнала эквивалентны.

Эти свойства позволяют обеспечить непрерывность синтезируемого D-оптимального тестирующего сигнала ( за счет того, что мы можем подавать произвольный сигнал  ), а также упростить задачу склеивания участков сигнала.

Известна теорема, что участки локального D-оптимального тестирующего сигнала, предполагающие одно измерение выхода, имеют не более k переключений, то есть при синтезе такого участка сигнала достаточно просмотреть лишь те вершины пространства  , которым соответствуют участки сигнала, имеющие не более k переключений. Эта теорема позволяет ускорить планирование этапов ДППИ.

Рассмотрим II случай, когда время расчета больше шага дискретизации ( ). В этом случае синтез очередного участка сигнала производится с использованием прогнозируемых значений НМНК оценок элементов вектора неизвестных коэффициентов  .

Рассмотрим задачу планирования n+1 этапа ДППИ на основе оценки  .

Прогнозирование НМНК-оценок неизвестных параметров

Прогнозирование возможно, если на каждом этапе процедуры производится несколько запланированных измерений выхода. Синтез участка, предполагающего несколько измерений выхода, производится по следующему алгоритму:

где  - порядковый номер синтезируемого участка сигнала;

- i-тая точка плана, которая должна быть реализована на (N+1) этапе процедуры. Эта точка определяет i-тый участок сигнала, определяющий предысторию для i-того измерения выхода (N+1) этапа;

- число планируемых измерений;

- ковариационная матрица вектора  , если его

Для формализации данной процедуры необходимо получить рекуррентное выражение, связывающее  ковариационную матрицу c ковариационной матрицей  для 

Для получения рекуррентной формулы можно воспользоваться известной теоремой из матричной алгебры: 

Тогда получим:

Искомая рекуррентная процедура синтеза участков локального D-оптимального тестирующего сигнала (N+1) этапа, предполагающего  измерение определяется следующими матричными выражениями:

где  .

Прогнозирование оценок неизвестных параметров производится на интервале времени между  и  измерениями выхода N-ого этапа ДППИ.

Если интервал между  и  измерениями больше  , то можно производить прогнозирование. При этом предполагается, что интервал между этими измерениями не меньше  .

Оценка  , то есть прогнозирование вектора  к моменту реализации N-ого этапа вычисляется из следующего условия:

- это критерий взвешенного МНК.

- функция веса;

- параметр функции веса.

Функция веса вводится для того, чтобы уменьшить влияние на прогноз старых измерений, то есть измерений, удаленных от момента прогнозирования. Обычно функция веса записывается в виде:

Параметр  априори неизвестен и должен оцениваться на каждом этапе процедур. Оценка коэффициента  находится из условия:

,

где  - прогнозируемое значение оценок к моменту i-того измерения выхода.

Можно показать, что оценка вычисляется с помощью следующей рекуррентной процедуры, которая является взвешенным НМНК:

   

ОСОБЕННОСТИ СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ D-ОПТИМАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ.

Построение D-оптимальных нелинейных моделей осуществляется на основе ДППИ аналогично процедуре, рассмотренной для моделей линейных систем.

При реализации данной процедуры необходимо учитывать следующие особенности, присущие нелинейным системам:

1)Для нелинейных систем не выполняется принцип суперпозиции (принцип суперпозиции - когда выходной сигнал объекта равен сумме реакций всех входных сигналов), поэтому модели таких систем связывают не отклонения значения входа и выхода от исходного статистического состояния, а истинного значения входа-выхода. Таким образом, производство планирования для нелинейных систем может быть задано системой неравенств:

2) Участки локального D-оптимального тестирующего сигнала для нелинейных систем не являются двухуровневыми, поскольку ни одна из соответствующих им дисперсионных функций не может быть представлена в виде квадратичной формы относительно вектора  .

Например, для модели Винера:

Таким образом, локальные D-оптимальные тестирующие сигналы для нелинейных систем являются многоуровневыми, причем число уровней априори неизвестно.

При анализе участков сигнала в общем случае необходимо просмотреть все пространство планирования  , что резко усложняет задачу планирования участков ДППИ.

На практике обычно задают три уровня сигнала:  и синтезируется сигнал в классе трехуровневых сигналов:

Пространство в этом случае будет квадратом, кубом, гиперкубом и так далее, так как для каждого сигнала ограничительные условия одинаковые.

3) Поскольку число уровней априори неизвестно, симметричные участки не эквивалентны, то планирование этапов ДППИ должно всегда производиться в конце реализации предыдущего этапа на основе прогнозируемых значений оценок.    

ПОСТРОНИЕ D-ОПТИМАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ.

Рассмотрим модель пространства состояний:

При нулевых начальных условиях перейдем к модели типа "вход-выход":

Планирование этапов ДППИ для моделей пространства состояний производится путем решения аргументной задачи:  , полученной из выражения:

Мы получили модель, представленную в виде ряда Тейлора :

Пространство планирования  , так как объект линейный.

Поскольку максимизированная квадратичная форма является квадратичной формой относительно вектора U, синтезируемые участки локального D-оптимального тестирующего сигнала для этой модели являются двухуровневыми, а симметричные участки эквивалентны.

Известна теорема, согласно которой синтезируемые участки сигнала имеют не более 2n-1 переключений.

При построении непрерывного тестирующего сигнала на основе точек плана можно использовать те же два подхода, что и для моделей типа "вход-выход".

Тема 17. Планирование эксперимента в условиях неоднородностей

17.1. Источники неоднородностей. Понятие дрейфа и качественного фактора

17.2. Планирование эксперимента в условиях дискретного дрейфа

17.3. Планирование в условиях линейного непрерывного дрейфа

ИСТОЧНИКИ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ. ПОНЯТИЕ ДРЕЙФА И КАЧЕСТВЕННОГО ФАКТОРА

Представление объекта исследования традиционной схемой не всегда возможно. Часто кроме управляемых входных переменных на вход влияют так называемые источники неоднородностей, т.е. некоторые воздействия, искажающие результаты эксперимента при стабильных значениях факторов планирования. При этом в отличие от шума е(t), эти источники оказывают детерминирующее воздействие на объект.

К числу источников неоднородностей относятся:

- неуправляемый дрейф;

- качественные факторы.

Дрейф - детерминированное изменение выхода объекта при стабильных значениях факторов планирования U.

Дрейф может быть дискретным и непрерывным.

Источником дискретного дрейфа могут быть колебания качества сырья, неодинаковая квалификация исследователей, различная точность приборов и т.п.

Источники непрерывного дрейфа - колебания качества сырья катализатора в химических процессах, старение аппаратуры и пр. Непрерывный дрейф может быть как линейным, так и нелинейным.

Качественные факторы - такие управляющие воздействия, которые не могут быть охарактеризованы количественно. Примерами качественных факторов являются: тип проволоки в сварочном аппарате, добавки при легировании стали и т.п.

Возможны две постановки задачи планирования эксперимента при наличии источников неоднородностей.

Подход 1.

Необходимо так спланировать эксперимент, чтобы получить модель, связывающую выход объекта с количественными факторами планирования независимо от действия источников неоднородности.

Это возможно только при первом типе источников неоднородностей. Другими словами, этот подход называется планированием ортогонально дрейфу.

Подход II .

Данный подход заключается в построении модели, учитывающей не только количественные факторы, но и источники неоднородностей.