Задачи динамического регрессионного анализа.

Назначение динамического регрессионного анализа - вычисление МНК-оценок и марковских оценок неизвестных параметров моделей импульсной переходной функции линейного объекта управления.

Получим структуры динамических регрессионных моделей линейных объектов соответствующие двум способам представления импульсной переходной функции, при этом будем предполагать, что входной сигнал является кусочно-постоянной на  функцией времени.  

Представление импульсной переходной функции набором ординат, вычисление оценок ординат.

Для получения структур будем использовать уравнения свертки или интеграл Дюамеля, который имеет вид:

для

Выход в фиксированный момент времени равен сумме значений входа в предшествующие моменты времени с весовыми коэффициентами, определяемыми ординатами импульсной переходной функции. Таким образом, выход объекта определяется предысторией по входу на времени памяти и видом импульсной переходной функции.

Если мы рассмотрим систему с нулевым условием, то есть, когда при t=0 функция от t равна 0, то

Tn- конечная память.

Выведем структуру динамической регрессионной модели, в которую в качестве неизвестных параметров входят ординаты импульсной переходной функции.

Предположим, что входной сигнал - кусочно-постоянная функция, а измерения выхода производятся через время  .

С учетом кусочной постоянности сигнала представим выходной сигнал как сумму  интеграла, причем в каждом интервале входной сигнал вынесем из под знака интеграла.  

- динамическая регресионная модель исходного объекта.

Данная динамическая регрессионная линейная модель непригодна для вычисления оценок вектора неизвестных параметров, так как неизвестными параметрами в ней являются определенные интегралы импульсной переходной функции, на основе которых трудно саму импульсную переходную функцию. Поэтому необходимо использовать тот или иной способ представления импульсной переходной функции и свести модель к виду, когда неизвестными параметрами модели являются коэффициенты соответствующего представления.

Полученная модель линейно- параметризованная, так как

МНК оценка  определяется как 

Таким образом, матрица F формируется в соответствии со следующим правилом: дискретные значения входного сигнала с 1 по  образуют 1-ую строку и 1-ый столбец матрицы, каждая последующая строка получается из предыдущей, сдвинутой на один элемент вправо.

Недостатком представления импульсной переходной функции в ординатах является обращение матрицы большой размерности.

Если входной сигнал объекта управления не является кусочно-постоянной функцией, то динамическая регрессионная модель может быть получена следующим образом:

- уравнение свертки

Таким образом, при произвольном входном сигнале объекта динамическая регрессионная модель связывает выход объекта управления в произвольный момент времени с предысторией по входу, начиная с момента измерения выхода. Эта предыстория определяется входом в момент измерения выхода и предшествующие моменты.

Разложение импульсной переходной функции по заданной системе базисных функций.

Подставим выражение для импульсной характеристики в исходную регрессионную модель.

где 

Это линейно-комбинационная динамическая регрессионная модель.

Известными параметрами данной модели являются следующие коэффициенты:

- коэффициент разложения, - параметр затухания.

Данная модель в целом нелинейно-параметризованная (по параметрам  - линейная, по параметру  √ нелинейная модель).

Возможны два способа построения линейно-комбинационной модели: 1. параметр  известен и оцениваются лишь коэффициенты  методами линейного оценивания (МНК, ОМНК); 2. все параметры модели неизвестны и используются методы нелинейного оценивания.