§ 3. Два види руху. Аналітичне задання руху

Будемо говорити, що перетворення площини зберігає орієнтацію площини, якщо репер R і його образ однаково орієнтовані і змінює орієнтацію площини, якщо R і протилежно орієнтовані.

Наприклад, такі добре відомі із школи рухи як паралельне перенесення та поворот навколо точки зберігають орієнтацію площини, а осьова симетрія змінює орієнтацію площини.

Коли рух орієнтація площини не змінює, то він називається власним (рухом першого роду), якщо змінює – невласним (рухом другого роду).

Отримаємо аналітичне задання руху.

Нехай g – даний рух. Розглянемо на площині ортонормований репер R= . Позначимо (х, у) координати довільної точки М в цьому репері, а через ( ) координати її образа при рухові g в цьому ж репері R .

Одержати аналітичне задання руху значить виразити координати точки в репері R через х, у.

Так як рух g задано, то за теоремою 2 ортонормований репер R= перейде в ортонормований репер . , причому .

Отже, фактично одержуємо звичайну задачу перетворення прямокутних систем координат: точка в старому репері R має координати , а в новому репері  – х, у. Потрібно виразити через х, у.

Такі формули мають вигляд:

де , якщо репери і однаково орієнтовані, тобто при рухах першого роду, і , при рухах другого роду.

§ 4. Класифікація рухів площини

Класифікацію рухів площини проведемо в залежності від наявності інваріантних точок і прямих, і одержимо аналітичне задання конкретних рухів.

Інваріантна точка (нерухома) перетворення – це точка, яка переходить в себе при даному перетворенні.

Інваріантна пряма (нерухома) – це пряма, кожна точка якої переходить в точку цієї ж прямої при даному перетворенні .

Власні рухи:

а) тотожне перетворення. Ясно що при такому перетворенні повороту немає, отже і перенесення немає, тому . Підставивши ці значення в формулу (1) отримаємо :

. Тобто інваріантними залишаються всі точки і всі прямі площини.

б) поворот на . Нехай центром обертання є точка О(0,0). Тоді , і маємо аналітичне задання :

Інваріантною є єдина точка – точка навколо якої виконується обертання. Інваріантних прямих немає.

в) центральна симетрія. Тут . Нехай центром симетрії є точка О(0,0), тоді . Отримаємо з формул (1) аналітичне задання такої симетрії:

Інваріантна точка – центр симетрії. Інваріантні прямі – прямі, що проходять через центр симетрії.

г) паралельне перенесення. Маємо Аналітичне задання:

Інваріантних точок немає, інваріантні прямі – прямі, що паралельні до .

Невласні рухи:

а) осьова симетрія. Повороту немає, тому . Якщо , то отримаємо осьову симетрію відносно осі ОХ:

Інваріантні точки – всі точки вісі симетрії. Інваріантні прямі – сама вісь симетрії і всі прямі, які перпендикулярні до неї.

б) ковзна симетрія (симетрія відносно прямої, а потім перенесення на паралельний до цієї прямої).

Тут , і якщо розглянути осьову симетрію відносно вісі ОХ, то отримаємо :

Інваріантні точки – точки вісі симетрії, інваріантна пряма – вісь симетрії.

§ 5. Група рухів площини і її підгрупи

Нам відомо (див.§1), що всі перетворення площини утворюють групу . Позначимо D – множину всіх рухів площини. Так як рухи площини – це перетворення площини, то для того, щоб вони утворювали групу, згідно теореми 1, досить перевірити дві умови: замкненість і існування оберненого елемента на множині рухів.

Перевіримо замкненість: Операція тут – композиція рухів. Потрібно показати, що композиція будь-яких двох рухів є рух.

Розглянемо дві точки А і В площини. Нехай рух g відображає їх в точки і . Тоді за означенням руху . Нехай рух f відображає точки і в точки і відповідно, тоді . Отже, . Таким чином послідовне виконання двох рухів g і f, тобто їх композиція – теж рух, так як зберігає відстань між точками.

Очевидно, що для будь-якого руху існує обернений рух . Тому всі рухи площини утворюють групу D, яка є підгрупою групи .

Розглянемо множину всіх власних рухів площини. Очевидно, що композиція двох власних рухів є власним рухом (орієнтація площини не змінюється) і для будь-якого власного руху g існує обернений (так як для всіх рухів площини існують обернені), отже, множина утворює групу, яка є підгрупою групи D.

Невласні рухи не утворюють групу, так як не виконується перша умова (замкненість). Дійсно, послідовне виконання двох невласних рухів буде власним рухом.

Нехай Т – множина всіх паралельних переносів площини. Тоді Т – підмножина групи власних рухів . Так як композиція двох паралельних переносів є паралельний перенос (наприклад композиція двох паралельних переносів на вектори і відповідно є паралельний перенос на вектор ) і для будь-якого переносу на вектор існує обернений (перенос на вектор , ), то Т – група переносів площини.

Отже, всі паралельні перенесення утворюють групу Т – підгрупу груп і . Неважко перевірити, що і всі повороти навколо фіксованої точки утворюють групу, підгрупу і . Всі ці групи нескінченні, так як мають нескінченне число елементів.

Існують і скінченні підгрупи групи рухів.

Розглянемо – множину всіх рухів площини, які переводять фігуру в себе.

1. Очевидно, що якщо рух f відображає фігуру F в себе і рух g відображає F в себе, то і послідовне виконання рухів f і g (f*g) відображає фігуру F в себе, тому операція замкнена (1-ша умова).

2. Ясно також, що для будь-якого руху, що відображає фігуру F в себе, існує обернений елемент (рух назад) який відображає F в себе (2-га умова).

Отже, – група.

Якщо містить елементи відмінні від тотожного перетворення, то вона називається групою симетрії фігури F, а її елементи – симетріями цієї фігури.

Якщо – коло або смуга, то – нескінченна. Якщо ж F – рівнобедрений трикутник, то складається з 2-х елементів. Якщо F – рівносторонній трикутник, то складається з 4-х елементів, F – квадрат , то містить 5 елементів.

М ожна розглянути і групу поворотів правильного

n–кутника. Її елементи – повороти многокутнока навколо його центра О, які відображають многокутник в себе. Ця група складається з степенів одного з своїх елементів (циклічна). Наприклад, для рівностороннього трикутника і Тут – поворот трикутника на кут навколо точки О (рис.4), , = е – тотожному перетворенню.