§ 26. Пряма в прямокутній системі координат

Всі рівняння прямої (23) – (28), які ми отримали в афінній системі координат, мають місце і в прямокутній системі.

Виведемо ще два рівняння прямої, які пов’язані з поняттями перпендикулярності, і тому мають місце тільки в прямокутній системі координат.

Вектор ≠ називається нормальним вектором прямої, якщо він перпендикулярний до будь-якого її направляючого вектора.

7 . Рівняння прямої, заданої точкою і нормальним вектором.

Нехай пряма d в прямокутній системі координат задана точкою М₀(x₀,y₀), і нормальним вектором = (А,В). Виберемо довільну точку М(x,y) на прямій d (рис.23).

Тоді вектор   =(x-x₀, y-y₀) перпендикулярний до вектора , отже, їх скалярний добуток · =0. Перейшовши до координат, отримаємо рівняння прямої:

А(x–x₀)+В(y–y₀)=0. (29)

Приклад 24.

Знайти координати точки, симетричної з точкою А(-3,-5) відносно прямої

Розв’язання: Знайдемо спочатку проекцію точки А на дану пряму. Для цього запишемо рівняння прямої, яка проходить через точку А, перпендикулярно до прямої Скористаємось рівнянням прямої за точкою А і нормальним вектором (за нормальний вектор візьмемо направляючий вектор даної прямої = (-В, А)). Отже, або

Проекцією точки А на пряму буде точка її перетину з прямою Щоб знайти точку перетину, розв’яжемо систему Отримали точку О(-1,1).

Для знаходження симетричної точки А´ скористаємося формулами ділення відрізка навпіл:

тому

Відповідь:

Відмітимо, що для прямої, заданої загальним рівнянням Ax+By+C=0, нормальний вектор = (А, В), так як він перпендикулярний до її направляючого вектора =(-В, А) ( · =0).

8. Нормальне рівняння прямої:

Н ехай пряма лінія задана в прямокутній системі координат одиничним нормальним вектором ₀=(cosφ, sinφ) і відстанню ρ від початку координат до прямої. Тоді ρ=|ОН| (рис.24). Знайдемо координати точки Н. Так як координати точки, це координати її радіус-вектора, то

=ρ ₀ = (ρ cosφ, ρ sinφ). Отже, Н(ρ cosφ , ρ sinφ).

Скориставшись рівнянням (29) отримаємо:

cosφ(x–ρcosφ)+sinφ(y–ρsinφ)=0, або

xcosφ+ysinφ – ρ=0 (30)

Очевидно, що для того, щоб із загального рівняння отримати нормальне рівняння, потрібно розділити його почленно на довжину нормального вектора ( таким чином ми отримаємо одиничний нормальний вектор ₀ ), причому взяти цей дільник із знаком „+”, якщо вільний член С > 0 і знаком „–”, якщо С < 0.

Приклад 25.

Привести до нормального вигляду рівняння прямої

Розв’язання:  Так як С 0, то . Розділивши почленно задане рівняння на (-6), отримаємо нормальне рівняння: . Тут =2, тому і нормальне рівняння можна записати у вигляді:

§ 27. Відстань від точки до прямої

Нехай в прямокутній системі координат задано пряму загальним рівнянням Ax+By+C=0 і точку М₀(x₀, y₀). Необхідно знайти відстань d від точки до прямої.

Нехай Н – основа перпендикуляра, опущеного з точки М₀ на пряму (рис.25). Тоді вектор колінеарний з нормальним вектором =(А,В) Розглянемо скалярний добуток векторів і : · =| |·| | cosφ. Так як кут φ між векторами і може бути як 0˚ так і 180˚, то cosφ =  1. Отже, · =| | |·| |. Звідси | |= . Перейдемо до координат. Нехай точка Н має координати: Н(x₁,y₁), тоді

=(x₀ – x₁, y₀ – y₁), · =А(x₀ – x₁)+В(y₀ – y₁)=Аx₀+Вy₀ –

 –(Аx₁+Вy₁). Оскільки точка Н належить прямій, то її координати задовольняють рівняння прямої, отже, Аx₁+Вy₁= – С. Маємо: · =Аx₀+Вy₀+С. остаточно отримаємо:

(31)

Якщо ж пряма задана нормальним рівнянням, то очевидно, що відстань d знаходиться за формулою: d=|x₀ cosφ+y₀ sinφ–ρ|.

Приклад 26.

Написати рівняння кола, яке має центр в точці О(6,-3) і дотикається до прямої

Розв’язання: Рівняння кола з центром в точці має вигляд:

Так як координати центра відомі, залишається знайти радіус. Очевидно, що радіус кола рівний відстані від центра кола до дотичної, отже, за формулою (31):

Відповідь:

Приклад 27.

На прямій знайти точки, рівновіддалені від прямих і

Розв’язання: Знайдемо спочатку множину всіх точок рівновіддалених від даних прямих. (Це будуть бісектриси вертикальних кутів, утворених цими прямими).

За умовою задачі відстань від точки М до прямих рівна, отже,

або

Розв’язок задачі отримаємо, знайшовши перетин знайдених прямих з прямою

Отже, існують дві точки, які задовольняють умову задачі. Відповідь: А(-6,4), В(-1, ).