§ 19. Парабола.

Параболою називається множина всіх точок площини, координати яких, в деякій прямокутній системі координат задовольняють рівняння: (16)

Так як у рівнянні параболи в парній степені лише ордината, то парабола симетрична тільки відносно вісі OX і розміщена в першій і четвертій чвертях, якщо р>0 (рис.13) і другій та третій, якщо р<0. Вісь симетрії параболи називається віссю параболи.

Парабола проходить через точку О(0,0), яка називається вершиною параболи. Інших точок перетину з осями координат парабола не має, тому вісь OX – єдина вісь симетрії параболи.

Нехай р>0, тоді якщо x то і y  (рис.13).

Відмітимо основні елементи параболи, які не залежать від орієнтації системи координат:

1. число р – фокальний параметр.

2. ч исло – фокальна відстань.

3. точка F( ,0) – фокус.

4. пряма d: – директриса.

Теорема 10.

Парабола – це множина тих і тільки тих точок площини, які рівновіддалені від фокуса і директриси.

Доведення.

Нехай точка M(x,y) рівновіддалена від F і d. Умова рівновіддаленості: . = x+ . отже, , або

.

Звідки . Отже, якщо точка рівновіддалена від фокуса і директриси, то вона належить параболі (рис.13).

Навпаки, нехай точка М належить параболі, яка має рівняння .

Знайдемо відстань від точки М до фокуса:

. Оскільки точка М належить параболі, то її координати задовольняють рівняння параболи отже, , тому а це і є відстань від точки М до директриси.

Приклад 6.

У прямокутній системі координат дана точка А(1,0) та пряма х = 2. Скласти рівняння лінії, кожна точка М(х,у) якої рівновіддалена від точки А та прямої х = 2.

Розв’язання: За умовою задачі

МА = MN (рис.14).

Звідси,

_{Рис. 14}

.

Отримали рівняння параболи. Точка А співпадає з її фокусом, пряма х = 2 її директриса (рис. 14).

§ 20. Афінна еквівалентність еліпсів (гіпербол). Подібність парабол

Фігури F і F називаються афінно-еквівалентними, якщо існує таке афінне перетворення, яке фігуру F відображає в F

Теорема 11.

Будь-які два еліпса ₁ і ₂ афінно-еквівалентні і якщо їх ексцентриситети рівні, то вони подібні.

Доведення.

Нехай в ортонормованих реперах R і еліпси ₁ і ₂ мають відповідно рівняння: і .

Згідно теореми 2 , існує рух f₁, який переводить репер в R і при цьому еліпс ₂ перейде в рівний йому еліпс ₃, рівняння якого в репері R буде: .

Розглянемо афінне перетворення f₂, яке визначається формулами:

Звідки (*)

Афінне перетворення f₂ відобразить еліпс ₃ в ₁, рівняння якого в репері R матиме вигляд: . Маємо: f=f₂ f₁ – композиція руху і афінного перетворення – афінне перетворення, яке й переводить еліпс ₂ в ₁ отже, вони афінно-еквівалентні.

Якщо ж їх ексцентриситети рівні: ₁=₂, або , то . Тоді отже, і . В цьому випадку формули (*) мають вигляд: , тобто задають гомотетію з центром в точці О коефіцієнта k. Маємо f=f₂ f₁ – композиція руху і гомотетії – перетворення подібності, отже, еліпс ₁ подібний ₂ , так як f(₂)=₁.

Аналогічно, як і для еліпса доводяться теореми:

Теорема 12.

Будь-які дві гіперболи афінно-еквівалентні. Якщо ексцентриситети їх рівні, то вони подібні.

Теорема 13. 

Будь-які дві параболи подібні.