§ 11. Аналітичне задання афінного перетворення. Група афінних перетворень

Нехай – дане афінне перетворення. Виберемо на площині афінний репер R і точку М з координатами х і у у цьому репері. Тоді, згідно теореми 5, репер R перейде при перетворенні в репер , а точка М в точку з такими ж координатами х і у в . Позначимо і координати точки в репері R. Потрібно виразити і через х і у . Таким чином, задача зводиться до звичайної задачі перетворення афінних систем координат (див. § 15 [12]): точка в старому репері має координати , , а в новому х, у, виразити , через х, у. Такі формули мають вигляд:

(8)

Визначник – якщо афінне перетворення першого роду, – афінне перетворення другого роду.

Зупинимося тепер на групі афінних перетворень та її підгрупах.

Позначимо через А множину всіх афінних перетворень площини. Покажемо, що А – група.

Розглянемо два афінних перетворення і .

Тоді, за означення афінного перетворення, будь-які три точки А, В і С прямої перейдуть при перетворенні в точки причому просте відношення

При перетворенні точки і перейдуть в точки і ( ) = ( ).

Таким чином послідовне виконання двох афінних перетворень і відобразить точки А, В і С в точки і = (АВ,С), тобто композиція двох афінних перетворень є афінним перетворенням. Замкненість доведено. Покажемо, що якщо , то і .(існування оберненого) Дійсно, якщо точки належать одній прямій, то за означенням і їх образи також належать одній прямій і Отже, множина всіх афінних перетворень площини утворює групу.

Вона називається групою афінних перетворень площини.

Група подібності площини і група всіх рухів площини є підгрупами групи А. Очевидно, що і всі їх підгрупи є також підгрупами групи А. Неважко перевірити, що існують і інші підгрупи групи А. Наприклад, множина всіх афінних перетворень першого роду; множина всіх афінних перетворень для яких – нерухома точка (група центрально-афінних перетворень); множина всіх афінних перетворень, для яких пряма а складається з нерухомих точок.

§ 12. Поняття квадратичної форми

Відомо, що рівняння першої степені від двох змінних: Ax+By+C=0 визначає пряму лінію на площині, рівняння Ax+By+Cz+D=0 визначає площину у тривимірному векторному просторі. Аналогічно, в n –вимірному векторному просторі рівняння першої степені від n змінних визначає так-звану гіперплощину. Зустрічалися нам і рівняння кола та сфери, які є рівняннями другої степені. На площині нам відомі і інші лінії: гіпербола, парабола, еліпс. В просторі поверхні: циліндричні, канонічні і т. д. Зрозуміло що деякі криві і поверхні можуть мати рівняння і вище другої степені, але основні лінії: еліпс, парабола, гіпербола, та поверхні: сфера, еліпсоїд, параболоїди, гіперболоїди задаються якраз рівняннями другої степені. Відмітимо, що еліпс, парабола та гіпербола вивчалися ще стародавніми греками. Аполлоній описав їх основні властивості ще в третьому столітті до нашої ери. Ці криві часто використовуються в фізиці, астрономії, архітектурі.

Лінією (кривою) другого порядку на площині будемо називати лінію, яка визначається рівнянням другої степені.

Загальне рівняння другої степені від двох змінних має вигляд:

a₁₁x²+a₂₂y²+2a₁₂xy+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃=0, (7)

де а₁₁, а₂₂, а₁₂ не рівні нулю одночасно.

Поверхнею другого порядку будемо називати поверхню, яка визначається рівнянням другої степені.

Очевидно, що таке рівняння, в загальному випадку, має вигляд:

a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz+

+2a₁₄x+2a₂₄y+2a₃₄z+a₄₄=0, (8)

де коефіцієнти а₁₁, а₂₂, а₃₃, а₁₂, а₁₃, а₂₃ не рівні нулю одночасно.

Відмітимо, що при переході від однієї системи координат до іншої рівняння 2-го порядку перейде в рівняння 2-го порядку.

Однією з основних задач аналітичної геометрії є зведення рівнянь (7) та (8) до канонічного вигляду:

Ax ²+By ²=Q або Ax ²+By ²+Cz ²=Q, де Q – многочлен не вище першої степені.

По аналогії з трьохвимірним векторним простором (див. §17 [12]), можна отримати формули перетворення афінних систем координат в n–вимірному векторному просторі:

x ₁=c₁₁y₁+c₁₂y₂+…+c_1ny_n+c₁,

x₂=c₂₁y₁+c₂₂y₂+…+c_2ny_n+c₂,

… … … … … … … … … …

x_n=c_n1y₁+c_n2y₂+…+c_nny_n+c_n ,

де нові базисні вектори і новий початок координат мають координати: =(c₁₁, c₂₁, ... , c_n1 ), … ,  =(c_1n, c_2n, ... , c_nn ), в старому базисі.

Квадратичною формою від n–змінних x₁, x₂, …, x_n називається однорідна функція другої степені від цих змінних, тобто функція вигляду:

F (x)= , де (a_ij=a_ji) (9)

Ясно, що в рівнянні (7) квадратична форма F(x)=a₁₁x²+a₂₂y²+2a₁₂xy, а в рівнянні (8)

F(x)=a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz.

Квадратична форма називається канонічною, якщо вона має вигляд: (10)