Теорема 16.

Множина точок простору, координати яких в афінній системі координат задовольняють рівняння (37), де А, В і С не рівні нулю одночасно, являє собою площину, причому =(-В,А,0) і

=(-С,0,А) – направляючі вектори цієї площини.

Доведення:

Розглянемо рівняння (37), де А, В і С 0 одночасно. Його можна записати у вигляді: = 0. Отже, рівняння (37) рівносильне рівнянню площини вигляду (33), заданої двома направляючими векторами =(-В,А,0), =(-С,0,А) і точкою

М(- ;0;0).

Приклад 31.

Скласти загальне рівняння площини, заданої параметричними рівняннями:

Розв’язання: Для розв’язання задачі треба виключити параметри t₁ і t₂. Це можна зробити, наприклад, наступним чином: з першого рівняння знайдемо t₁ = x – 4 + 2t₂ і підставимо його в друге і третє рівняння. Отримаємо систему: .

Тепер, розв’язуючи цю систему, виключимо параметр t₂: .

Домножимо перше рівняння на 7, а друге на 15 і складемо їх:

7y+15z = 68–10x+40  10x+7y+15z–108 = 0.

Відповідь: 10x+7y+15z–108 = 0.

Задачу можна розв’язати й іншим способом. Так як з параметричних рівнянь легко знайти координати двох направляючих векторів площини (це коефіцієнти біля параметрів) і точки (її координати (4, –1, 5)), то рівняння шуканої площини отримаємо, скориставшись рівнянням (33).

Приклад 32.

Скласти параметричні рівняння площини 6x – 3y + z – 5 = 0.

Розв’язання: Будь-які дві з трьох змінних x, y, z можна прийняти за параметри. Нехай, наприклад, x = t₁, y = t₂, і з рівняння площини знайдемо z = – 6t₁+3t₂+5.

Відповідь: .

§ 30. Площина в прямокутній системі координат

Так як прямокутна система координат (O,  , , ) є частковим випадком афінної, то в ній можна використовувати всі отримані раніше рівняння (33)–(37) площини.

Нормальним вектором площини називається будь-який вектор, перпендикулярний до цієї площини.

У прямокутній системі координат можна отримати ще два рівняння площини: за точкою і нормальним вектором, та нормальне рівняння.

6. Рівняння площини за точкою і нормальним вектором.

Нехай в прямокутній системі координат (O,  , , ) площину задано точкою Н₀(x₀,y₀,z₀) і нормальним вектором =(А,В,С). Візьмемо на площині довільну точку Н(x,y,z).

Тоді =(x-x₀, y-y₀, z-z₀). Так як вектор перпендикулярний до вектора , то їх скалярний добуток дорівнює нулю, отже, за теоремою 8:

А(x-x₀)+В(y-y₀)+С(z-z₀)=0 (38)

Приклад 33.

Знайти множину точок, рівновіддалених від точок А(2,-1,3) і В(4,5,-3).

Розв’язання: Множина точок рівновіддалених від А і В буде площиною, яка проходить через середину відрізка АВ, перпендекулярно до нього. За формулами ділення відрізка навпіл, знайдемо точку О – середину відрізка АВ:

Отже, точка О(3;2;0). За нормальний вектор можна взяти, наприклад, Скористаємося рівнянням (38):

(x – 3) + 3(y – 2) – 3z = 0, або x + 3y – 3z – 9 = 0.

7. Нормальне рівняння площини.

Нехай площина задана в прямокутній системі координат одиничним нормальним вектором і відстанню  від початку координат до площини. Нехай Н – основа перпендикуляра, опущеного із початку координат на площину. Знайдемо координати точки Н. Так як координатами точки назвали координати її радіус-вектора, то знайдемо координати вектора . Отже, координати точки Н ( cos₁,  cos₂,  cos₃). Використавши рівняння (38), отримаємо нормальне рівняння:

cos₁(x-cos₁)+cos₂(y-cos₂)+cos₃(z-cos₃)=0 або

x cos₁+y cos₂+z cos₃ – =0 (39).