§ 21. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярній системі координат

Теорема. Еліпс (гіпербола) є множина всіх точок площини, відстань від кожної з яких до фокуса рівна відстані від неї ж до відповідної директриси, помноженій на ексцентриситет.

Доведення.

Нехай – правий фокус, – права директриса. Покажемо, що якщо точка М(х,у) задовольняє умову теореми: , то вона належить еліпсу, або гіперболі.

= .

.

.

.

Так як для еліпса , а для гіперболи отримаємо

Розділивши на b²(–b²)одержимо:

Навпаки, якщо точка М належить гіперболі або еліпсу, то її фокальний радіус . Знайдемо відстань від точки М до директриси d₁: . Отже, . (*)

Ми відкрили геометричний зміст ексцентриситету еліпса і гіперболи. Ексцентриситет їх, це постійне число, яке дорівнює відношенню відстаней від кожної точки кривої до фокуса, до відстані від цієї ж точки до відповідної директриси. З геометричного означення параболи бачимо що і її точки мають аналогічну властивість. Це відношення для неї рівне 1. Отже, для будь-якої параболи .

Нехай тепер  – еліпс відмінний від кола, одна вітка гіперболи, або парабола. F і d – фокус і відповідна директриса кривої . Тоді пряма d розіб’є площину на дві півплощини, причому крива повністю належатиме одній півплощині обмеженій прямою d.

З

1

гідно теореми, крива це множина всіх точок М півплощини , таких, що . Отримаємо рівняння кривої в полярній системі координат (рис.15), де , (D – проекція точки F на пряму d).

Розглянемо будь-яку точку М . В полярній системі координат вона буде мати координати: (рис.15). Нехай М₁ - її проекція на полярну вісь. Обчислимо Нехай тепер точка , тоді підставимо це значення відстані в (*) отримаємо: , , або Звідки , де .

Остаточно отримаємо рівняння кривої в полярній системі координат: (17)

Якщо , маємо , отже, p–полярний радіус точок А і В – перетину кривої з прямою , яка проходить через фокус паралельною до директриси.

Число p називається фокальним параметром (для параболи ми вже його розглядали). Вияснимо, для яких значень кута рівняння (17) визначає всі точки кривої .

Якщо , то - еліпс і , і якщо , то рівняння (17) задає еліпс.

Якщо , то -гіпербола і рівняння (17) має зміст лише якщо , або . Якщо – кут, такий що , то маємо отже, якщо то отримаємо вітку гіперболи. Тут φ₀– кут, який утворює асимптота з полярною віссю. Якщо ж полярна система координат узагальнена, то - маємо другу вітку гіперболи.

Якщо , то і крива - парабола.

§ 22. Дотичні до кривих другого порядку

Розглянемо еліпс і пряму задану параметричними рівняннями: .

Для знаходження точок перетину прямої з еліпсом потрібно розв’язати систему трьох даних рівнянь (фактично підставити рівняння прямої у рівняння еліпса). Отримаємо:

або

Якщо отримане квадратне рівняння має два дійсних кореня то отримаємо дві точки перетину прямої і еліпса.

Якщо розв’язки рівняння збігаються то пряма буде мати з еліпсом одну спільну точку, тобто буде дотичною до еліпса в точці з параметром . Підставивши це значення параметра в рівняння прямої , отримаємо координати точки дотику. Оскільки ця точка належить еліпсу, то її координати задовольняють рівняння еліпса: .

Отримаємо

Так як корені рівняння і , то і . Це можливо лише тоді, коли . Знайшовши з рівнянь прямої , і підставивши в останню рівність, отримаємо рівняння .

Враховуючи, що будемо мати рівняння дотичної до еліпса: (18)

Аналогічно міркують, отримаємо рівняння дотичних в точці з координатами до гіперболи (19)

та параболи: . (20)

Приклад 7.

Скласти рівняння дотичних до еліпса , перпендикулярних до прямої .

Розв’язання: Позначимо точку дотику . Нормальний вектор даної прямої буде направляючим для дотичної отже, , або .

Так як точка належить еліпсу, то , крім того для дотичної .

У нашому випадку маємо . Розв’язавши систему

, отримаємо два розв’язки: , і

, . Записавши рівняння прямих, які проходять через ці точки, паралельно вектору , отримаємо рівняння дотичних: і .