§ 34. Розміщення площини відносно системи координат

Розглянемо площину α, задану в афінній системі координат загальним рівнянням : Ax+By+Cz+D=0. В залежності від рівності нулеві коефіцієнтів A, B, C, D площина α може бути розміщена відносно системи координат наступним чином :

1. D=0: α : Ax+By+Cz = 0, α проходить через початок координат (так яа точка О(0,0,0) задовольняє рівняння площини).

2. A=0: α : By+Cz+D = 0, α || OX (так як базисний вектор =(1,0,0) і нормальний вектор =(0,В,С) перпендикулярні).

3. B=0: α : Ax+Cz+D=0, α || OY

4. C=0: α : Ax+By+D=0, α || OZ

5. D=A=0: α : By+Cz=0, α проходить через вісь OX

6. D=B=0: α : Ax+Cz=0, α проходить через вісь OY

7. D=C=0: α : Ax+By=0, α проходить через вісь OZ

8. A=B=0: α : Cz+D=0, α || XOY

9. A=C=0: α : By+D=0, α || XOZ

10. B=C=0: α : Ax+D=0, α || YOZ

11. A=B=D=0: α : Cz=0, або z=0, α – площина XOY

12. A=C=D=0: α : By=0, або y=0, α – площина XOZ

13. B=C=D=0: α : Ax=0, або x=0, α – площина YOZ.

Приклад 39.

Вказати особливості розташування наступних площин по відношенню до системи координат:

а) x–y+z=0; б) x+2y+3 = 0; в) x–3=0; г) 2y–z=0.

Розв’язання: а) Так як вільний член даного рівняння дорівнює нулю, то дана площина проходить через початок координат.

б) Так як С = 0, то площини паралельна до вісі ОZ.

в) Так як коефіцієнти В=С=0, то площина паралельна площині YOZ.

г) Так як коефіцієнт А=0 і вільний член D=0, то площина проходить через вісь ОX.

Приклад 40.

Побудувати зображення площини x–y+z=0.

Так як дана площина проходить через початок системи координат, то її зручно зобразити поєднанням двох її слідів, тобто 2-х ліній перетину цієї площини з будь-якими двома координатними площинами, наприклад, з площинами XOY і YOZ.

Для побудови сліду в координатній площині потрібно побудувати дві точки. У нашій задачі одна точка О(0,0,0), яка належить усім координатним площинам, уже побудована. Знайдемо ще одну точку даної площини, яка лежить в XOY. Для точок, що лежать в площині XOY z=0, і поклавши в рівнянні

x – y + z = 0, наприклад, х=1, отримаємо y=1. Отже, будуємо в площині XOY точку А(1;1;0). Пряма ОА є слідом даної площини на площині XOY (рис.26).

Для того щоб побудувати слід даної площини на площині YOZ, рівняння якої: х=0, покладемо y=1, тоді z=1, і площина проходить через точку В(0;1;1). Пряма ОВ є слідом даної площини на площині YOZ (дивись рис.26).

§ 35. Геометричний зміст знака Ax+By+Cz+D

Н ехай в афінній системі координат (О,  , , ) задано площину α: Ax+By+Cz+D=0. Вона розділяє множину точок простору на два півпростори. Знайдемо умови, які визначають ці півпростори. Зафіксуємо на площині α точку N₀ і відкладемо від неї нормальний вектор площини =(А,В,С) (рис.27). Кінець вектора позначимо N. Отже, = .

Нехай М(x,y,z) довільна точка простору, яка не належить площині α. Проведемо через М пряму d паралельну до вектора , і отримаємо точку М₀ (x₀,y₀,z₀) – точку перетину прямої d з α. Оскільки || , то за теоремою 1 =β , або в координатах: x–x₀=βA, y–y₀=βB, z–z₀=βC. Звідки x=βA+x₀, y=βB+y₀, z=βC+z₀. Підставивши отримані змінні в многочлен Ax+By+Cz+D, отримаємо:

Ax+By+Cz+D=А(βA+x₀)+В(βB+y₀)+С(βC+z₀)+D=β(А²+В²+С²) (Так як точка М₀ (x₀,y₀,z₀) належить площині α, то Аx₀+Вy₀+Сz₀+D=0.) . Нехай λ півпростір з границею α, який містить точку N. Тоді, із рівності =β випливає, що точка М належить півпростору λ тоді і тільки тоді, коли β>0, а оскільки А²+В²+С²>0, то точка М належить півпростору λ тоді і тільки тоді, коли Ax+By+Cz+D>0. Отже, нерівність Ax+By+Cz+D>0 визначає півпростір, обмежений площиною α. Так як площина розділяє простір на два півпростори, то очевидно, що другий півпростір λ′ визначається нерівністю: Ax+By+Cz+D<0.