2.5. Общий подход к построению многоцелевых алгоритмов одноканальных преобразований

Как было показано в разделах 4 и 5, традиционным является принцип многоканальности, при использовании которого в каждом канале вырабатываются сведения об одной составляющей. В данном разделе показано, что подобно вариации Аллана, можно получить сведения о различных составляющих сигнала в одном канале. При общем принципе построения структура алгоритмов и их свойства могут значительно различаться. В дальнейшем предполагается, что реализации представлены в виде непрерывных функций времени х(t), предполагается, что для текущего момента t преобразованию может подвергаться эта функция на интервале (0, t), эффектами от преобразования в цифровую форму пренебрегается. Обзор существующих алгоритмов преобразования и определения характеристик и параметров показал, что для одной реализации они могут быть представлены в общем виде следующим образом

F{х(t)} = N(t) R₂{∫ R₁[Q(t,τ) х(τ)]dτ}

где N(t) – нормирующий множитель, обычно степенная функция (N(t)= t^k для нестационарных преобразований с растущим временем памяти или N(t)= (t – τ)^k для скользящего стационарного преобразования с постоянным временем памяти), Q(t,τ) – ядро или весовая функция, R₁ и R₂ – символы нелинейных преобразований, обычно степенных (часто они бывают обратными, например, R₁ – возведение в квадрат, а R₂ – извлечение квадратного корня, при этом справедлива линейность относительно масштабного множителя, и получается, что размерность функционала – такая же, как самого процесса х(t)). Если указанные функции R₁ и R₂ являются взаимно обратными, то преобразование в целом является линейным относительно масштабного коэффициента. Одной из целей использования таких функций является устранение знака, т.е. приведение к положительным значениям, что необходимо для правильного отражения свойств знакопеременных составляющих. Простейшим вариантом является использование функции модуля R₁ (определения абсолютного значения), тогда нет необходимости в преобразовании R₂. Часто для наглядности представления зависимости строятся при дополнительных масштабных преобразованиях, в соответствии с традицией наиболее распространенными являютя логарифмическая или полулогарифмическая сетки. Как отмечалось ранее, при представлении результатов в логарифмической сетке функцию lg() можно включить в R₂ .

В отношении весовой функции Q(t,τ) интегрального преобразования необходимо в первую очередь обратить внимание на несколько аспектов:

- структурные особенности, отчасти определяемые способом реализации;

- свойства и приспособленность для выявления и определения значений параметров составляющих процесса;

- ограниченность (строгая или нестрогая) по аргументу t, параметр ограничения по времени t может трактоваться, как время памяти (в частности, время памяти может охватывать все время наблюдения реализации или иметь меньшее, фиксированное значение Т);

- аналитическая и графическая формы и математические способы задания.

Как и для вариации Аллана возможны по крайней мере три варианта реализации.

Преобразование осуществляется однократно по единственной реализации процесса от начального момента t =0 нестационарным преобразованием, определяемым масштабированной весовой функцией Q(t, τ). В результате получается весь график диаграммы. Такой вариант приспособлен для работы в реальном времени, отрезки ломаной появляются друг за другом.

Преобразование осуществляется ретроспективно, поэтапно, с предварительным разбиением всей реализации Т по сериям отрезков, длины которых t_i образуют геометрическую прогрессию (t_i+1 = kt_i или t_i = kⁱt_o). Результаты по отрезкам одной длины (серии) осредняются. Очевидно, что при этом для малых значений t_i получается большее число отрезков.

После выбора ряда значений t_i , как и в п. 2 программно реализуются стационарные фильтры с кусочно-постоянными весовыми функциями W(t-τ). Представляется целесообразным приближенный переход к представлению в виде дробно-рациональной передаточной функции. Реализация процесса прогоняется через серию фильтров.

Если весовая функция зависит от разности аргументов, т.е. Q(t,τ) = Q(t-τ), то, если исключить из рассмотрение начальный интервал переходного процесса, преобразование является стационарным, в противном случае оно нестационарно. Существовавшие ранее преимущества стационарных преобразований, связанные с возможностями аналоговых средств в настоящее время сошли на-нет. Однако решающим обычно является соображение, что стационарные преобразования, даже достаточно сложные в формульных представлениях имеют ясный физический смысл и их результаты можно непосредственно использовать.

Вместо задания вида ядра Q(t,τ) можно использовать иные способы формирования подинтегрального выражения, например, в виде дифференциального оператора (например, просто дифференцирования или в общем случае дифференциального уравнения, которое может быть записано в виде передаточной функции). При стационарных преобразованиях они обычно представляются в виде передаточных функций, программно реализуемых в виде рекуррентных процедур или цифровых аналогов.

Входящие в () функции и параметры имеют определенную смысловую нагрузку. Целенаправленно задавая перечисленные функции, можно получать как типовые, классические характеристики случайных процессов, так и новые, в том числе и более удобные формы для получения содержательных выводов.

Поскольку описываемый подход основывается на эвристике, можно просматривать различные варианты свойств преобразуемых сигналов. Целесообразно свойства различных видов преобразований проверять сначала на модели смеси трех составляющих

х(t) = х₁ (t)+ х₂+ х₃(t)

где х₁ (t) = широкополосная центрированная составляющая с временем корреляции Т_к, х₂ =С₁ – постоянное смещение нуля, х₃(t)= С₂t – линейный дрейф.

В частных случаях могут быть получены хорошо известные характеристики. Сочетание нормирующего множителя N(t) = t^-1 с интегралом на всем нарастающем интервале, т.е. в пределах (0, t) при Q=1 и R₁ = R₂ = 1 означает равномерное линейное осреднение за этот интервал (с сохранением знака), это простейший случай нестационарного преобразования с весовой функцией вида (), приспособленной для определения постоянной составляющей (смещения нуля). Это преобразование () было приведено ранее применительно к задаче определения постоянной составляющий в п. 4. Как показано далее в п. 8, применительно к задачам навигации по сигналам БИНС анализ результата такого преобразования может привести к интересным содержательным выводам. Общий вид результатов такого интегрального преобразования такой смеси при разделимости составляющих в логарифмической сетке может различаться (рис. ), варианты зависят от знаков коэффициентов С₁ и С₂. Начальный участок представляет собой знакопеременные затухающие колебания от случайной составляющей, причем время затухания определяется ее интервалом корреляции. Следующий, второй - интервал постоянного значения С₁ (с учетом знака). Третий - интервал линейного изменения от составляющей С₂ t (также с учетом знака).

При преобразовании модуля R₁ =| | свойства зависимостей иные (рис. ): затухающие колебания на первом интервале от случайной составляющей имеют постоянный знак, постоянное значение на втором интервале зависит как от коэффициента С₁ , так и от дисперсии случайной составляющей, переход к третьему интервалу, на котором превалирует линейно изменяющая составляющая, может начинаться после временного понижения. Если случайная составляющая интереса не представляет, то следует констатировать, что из результата преобразования на единственном выходе одного канала получаются коэффициенты двух составляющих сигнала. Однако заранее невозможно оценить, на каких интервалах будет надежно обнаружена каждая составляющая.

Далее, в п. показано, что интегрирование сигнала ДУС от начального момента времени не просто рассматривается, как простейшее интегральное преобразование из числа возможных, но оно связано с конкретным его использованием в инерциальных системах.

Если же пределы интегрирования выбираются соответственно (t – T) и t причем N(t) =T^-1 , то получается скользящее осреднение на интервале постоянной длиной Т, что может быть квалифицировано, как равномерное текущее сглаживание на интервал времени Т до текущего момента. Сохранение качественных особенностей данного преобразования возможно при близких по виду преобразованиях, желательно с весовой функцией, сохраняющей знак. Скользящее осреднение можно получить также довольно произвольным выбором весовой функции Q при N(t) = 1, но удовлетворяющей условию

∫ Q(τ) dτ =1

При этом остается широкий выбор вида функции Q(τ), в частности, она может ступенчатой или гладкой или может быть построена из условий оптимизации при определенных гипотезах относительно свойств процессов (наличия шумов, влияние которых на результат преобразования желательно уменьшать) и т.д. От выбора этой функции зависит степень влияния на результат различных, всегда реально присутствующих переменных составляющих.

Возможно также использование линейного фильтра, алгоритм которого представляется в виде дифференциального уравнения со специально подобранной частотной характеристикой. Если это преобразование (независимо от того, реализуется ли оно в виде интегрального преобразования над текущими данными, или многократного интегрирования дифференциальных уравнений, фильтр нижних частот с частотой среза ω* и с гладкой частотной характеристикой, то его использование практически равносильно текущему осреднению за время Т= (ω*) ^-1.

Следует отметить, что если при обработке данных программное осреднение не осуществляется, то при непосредственной регистрации сигнала датчика получается более или менее широкая зона размытия медленно изменяяющихся составляющих высокочастотными или широкополосными шумовыми составляющими. При этом значение придается выяснению, происходят ли маскированные шумом видимые, относительно низкочастотные смещения. Фактически это означает, что зрительно, интуитивно осуществляется визуальное сглаживание процесса. При этом, естественно, становятся невозможными определенные количественные оценки показателей точности. Если требуется, вместо фильтра нижних частот может быть использован фильтр, вырезающий заданный диапазон частот (не обязательно узкий) с ограничениями снизу и сверху.

При N(t) = t^-1 , и при нелинейных преобразованиях R₁ = []² и R₂ = 1 с интегралом в пределах всего текущего интервала (0, t) при Q=1 получается второй нецентрированный момент функции времени. Для центрированного процесса

σ² = t^-1 ∫х² (τ)dτ

Для большей наглядности для определения среднеквадратичного значения σ следует взять R₁ = []² и R₂ = []^½ . Совсем необязательно строить классические квадратичные оценки. Например, как отмечалось выше, характеристику рассеяния можно взять весовую функцию модульной, т.е. R₁ = | |, при этом получится среднемодульное значение, знак при этом также теряется, но тогда отпадает необходимость осуществлять отдельно обратное преобразование R₂.

Во всех случаях нет необходимости использовать какие-либо предположения о сходимости или пытаться доказывать или опровергать сходимость по результатам обработки данных.

При сохранении неизменными общих принципов формирования преобразований можно алгоритмически решать другие задачи. Например, заданием нелинейной функции R₁ , принимающей нулевые значения на заданном интервале (-а, +а) вблизи нуля можно получить характеристики выбросов за уровень а; такое преобразование можно использовать при определении по результатам испытаний порогов чувствительности ДУС.

Можно строить многоканальное преобразование таким образом, чтобы на выходах отдельных каналов получать классические оценки спектральных плотностей. Например, если весовая функция представляет затухающий колебательный процесс частотой ω, то этот канал может рассматриваться, как узкополосный фильтр, настроенный на эту частоту. Из таких фильтров, настроенных на определенным образом (обычно в геометрической прогрессии) выбранную последовательность частот обычно строится широкополосный спектроанализатор или анализатор спектра.

Если весовая функция представляется в виде системы разнесенных на интервал времени двух δ-функций одного знака (рис. ), то при задании последовательности сдвигов по времени на выходе получается значение второго момента, а при центрированности процесса - корреляционной функции. При задании последовательности значений получаются точки корреляционной функции, а система преобразования в целом представляет собой коррелометр.

Н апример, для «чистой» модели недетерминированного стационарного случайного процесса результат осреднения по начальному участку можно оценить интервал Т_к корреляции, а при увеличении t на растущем интервале будет стремиться к постоянному значению, математическому ожиданию. При N(t) = t^-2 типичной, но упрощенной будет зависимость такого вида, как изображено на рис. . , а при N(t) = t^-1 - как на рис.

Окончание начального участка будет указывать на интервал корреляции случайной стационарной составляющей, а прогрессирующий уход от постоянного значения (если он имеет место)- дрейф (регулярный или нерегулярный). Для реальных процессов, которые лишь приближенно можно считать стационарными, сходимости ожидать не стоит, а неубывающие видимые отклонения от постоянного значения могут содержать полезную информацию об отличиях от стационарной модели и о других составляющих процесса.

При использовании модели погрешности, включающей стационарную случайную составляющую п(t) низкого уровня

u(t)= a₀ + a₁ t + a₂ t² +п(t)

по результатам применения операции равномерного осреднения модуля

F{u(t)}= N(t) ∫ |[u(τ)]|dτ

на нарастающих, больших интервалах времени, на которых практически не проявляется случайная составляющая можно определить и наглядно представить не только постоянную составляющую, но также линейно и квадратично нарастающую. При представлении результатов в логарифмической сетке в зависимости от выбора нормирующего множителя N(t) будут получаться зависимости, имеющие примерно такой вид, как показано на рис.

N(t)= t^-1

N(t)= t^-2

N(t)= t^-3

Наклоны участков в логарифмической сетке кратны 20 дБ/дек. Моменты времени изломов, перехода от одних прямолинейных участков к другим для всех вариантов построения одни и те же. Преимущества использования горизонтальных (реально – близких к горизонтальным) участков заключается в том, что на них проще определяются параметры соответствующих составляющих. Отсутствие какого-либо из участков (например, среднего) будет свидетельствовать о том, что соответствующая составляющая в одноканальной схеме преобразования для алгоритмов рассматриваемого класса практически ненаблюдаема. Но это не означает, что эти составляющие не могут быть обнаружены и идентифицированы при других подходах, а именно, в системе параллельного типа.

С другой стороны, присутствие составляющей в виде стационарного шума может привести к появлению промежуточного участка между первым и вторым (с промежуточным наклоном). Если в процессе u(t) важной и высокой по уровню является стационарная недетерминированная составляющая, то целесообразно выбрать N(t) = t^-1 , R₁ = []², R₂ =1. Тогда результатом преобразования будет дисперсия этой составляющей. Выбором весовой функции Q(t,τ) можно также получить корреляционную функцию и при ее приближенном получении использовать также эффект сглаживания.

С другой стороны, в развитие метода вариации Аллана, при которой устраняется постоянная составляющая, могут быть построены преобразования, исключающие из выходных сигналов составляющие других видов. Например, если кусочно-постоянную весовую функцию преобразования выбрать в форме, основанной на идее определения только квадратичной составляющей и исключающей постоянную и линейную составляющую, то следует весовую функцию в виде

Q(t,τ) = +1 при 0 <τ <¹/₄ t,

- 1 при ¹/₄ t < τ <³/₄ t

+1 при ³/₄ t< τ < t

Такое преобразование может быть использовано в многоканальной схеме наряду с другими, в других каналах, предназначенных для определения иных составляющих.

При этом в результате преобразования будут исключены постоянная и линейно изменяющаяся во времени составляющая, а недетерминированные шумовые составляющие будут проявляться так же, как и при использовании алгоритма Аллана.