15 Числові характеристики випадкової величини

Предметом статистичного аналізу є вибірка значень випадкової величини, отримана в результаті вимірювань чи спостережень. Кінцевою метою статистичної обробки є встановлення числових характеристик та закону розподілу випадкової величини за наявними дослідними даними. Позначимо обсяг вибірки через N, а кожен її елемент (одержане в результаті окремого вимірювання значення випадкової величини) через X_i. Числові характеристики вибірки випадкової величини можна визначати з використанням убудованих функцій текстового процесора EXCEL чи інших прикладних програм, які реалізують обчислення за наведеними нижче формулами. В EXCEL аргумент „список” усіх функцій для обчислення статистичних характеристик звичайно задає область робочої сторінки, в комірки якої занесені елементи вибірки. Для визначення списку слід просто „обвести” необхідну область курсором миші під час уведення функції через меню „ВСТАВКА, ФУНКЦИЯ”. Оскільки статистичні функції ігнорують пусті комірки, область робочого листа „список” може бути більшою за наявну вибірку. Це дозволяє створювати бланки, у які досить занести дані, щоб виконати їх статистичну обробку.

Розмах вибірки задається найменшим X_min і найбільшим X_max спостереженими значеннями. В середовищі EXCEL використовуються функції МИН(список) та МАКС(список).

Середнє значення (оцінка математичного сподівання), яке визначає положення центра розподілу випадкової величини, дорівнює

(1)

і в середовищі EXCEL обчислюється за функцією СРЗНАЧ(список).

Стандарт (середнє квадратичне відхилення) характеризує міру розкиду випадкової величини відносно центра розподілу й обчислюється за формулою

, (2)

яка в середовищі EXCEL реалізована функцією СТАНДОТКЛОН(список).

Коефіцієнт варіації є відносною мірою розкиду випадкової величини і визначається за формулою

. (3)

Величини, що входять до формул (1) – (3), пояснені вище, де обсяг вибірки позначено через N, а кожен її елемент – через X_i .

Середнє значення й стандарт мають розмірність самої випадкової величини. Коефіцієнт варіації – величина безрозмірна або виражена у відсотках. Наприклад, нормативне значення коефіцієнта варіації міцності бетону встановлене рівним V=0,135=13,5%. Окрім того, у математичній статистиці використовуються дисперсія , а також коефіцієнти асиметрії та ексцесу, смисл і методика обчислення яких пояснені в [1].

Із метою ілюстрації розглянемо приклад, який буде продовжуватися при розгляді наступних питань і при цьому виділятися курсивним шрифтом:

Шляхом опитування групи з 20 студентів установлено час, витрачений кожним із них на виконання курсової роботи. У результаті отримана вибірка обсягом N=20 значень витрат часу в годинах:

16 20 27 27 25 14 13 31 24 19

19 21 16 17 26 21 18 23 20 22

Обробка за описаною вище методикою дала наступні результати:

• розмах вибірки X_min = 13 годин, X_max = 31 година;

• середнє значення (1) M = 20,95 години;

• стандарт (2) S = 4,73 години;

• коефіцієнт варіації (3) V = 0,226=22,6%.

Таким чином, на виконання курсової роботи різні студенти витрачали від 13 до 31 години, середні по групі витрати часу становили приблизно 21 годину, а коефіцієнт варіації – 22,6%.