16 Закон розподілу випадкової величини

Вичерпною характеристикою випадкової величини є її закон розподілу, який установлює залежність між значеннями випадкової величини та ймовірностями їх реалізації. Закон розподілу неперервної випадкової величини може задаватися у вигляді функції розподілу чи густини ймовірності.

Функція розподілу F(x) дорівнює ймовірності того, що випадкова величина X прийме значення, менше від x :

, (4)

де X і x – випадкова величина та її конкретне значення;

– імовірність події, записаної у фігурних дужках.

Функція розподілу в межах області визначення випадкової величини монотонно зростає від нуля до одиниці. Якщо область визначення випадкової величини обмежена , то , . При нескінченній області визначення , .

Першу похідну функції розподілу називають густиною ймовірності, або густиною розподілу. Густина ймовірності f(x) указує на ймовірність реалізації значень випадкової величини в околі x. Графіки густини ймовірності можуть мати різноманітний характер, але всі вони повинні лежати вище від осі абсцис і задовольняти умову нормування

; . (5)

	а) функція розподілу Гумбеля з характеристиками: M=10; S=6 F(5)=0,195; F(20)=0,936
	б) густина розподілу Гумбеля з характеристиками: M=10; S=6 P{x<5)=F(5)=0,195 P{x>20)=1–F(20)=0,064

Рис. 3. Функція та густина розподілу неперервної випадкової величини

Характерний приклад функції та густини розподілу випадкової величини з необмеженою областю визначення зображено на рисунку 3. Найімовірнішими є значення в межах приблизно від 5 до 15, а ймовірність реалізації інших значень зменшується в міру віддалення від цього інтервалу.

Густина і функція розподілу зв'язані співвідношеннями

; , (6)

завдяки характеру яких функцію розподілу F(x) інколи називають інтегральною функцією розподілу. Зв'язок між густиною та функцією розподілу відображено на рисунку 3. Як слідує з формули (6), площа відміченої на графіку густини ймовірності області x<5 дорівнює значенню функції розподілу F(5)=0,195.

Статистичним еквівалентом густини розподілу випадкової величини є гістограма розподілу. Побудова гістограми розподілу розпочинається з визначення розмаху вибірки як інтервалу між найменшим X_min і найбільшим X_max зі спостережених значень. Отримана таким чином область визначення випадкової величини розбивається на інтервали, кількість яких L вибирається залежно від обсягу вибірки N за рекомендацією наступної таблиці:

N =	10 – 40	40 – 100	100 – 300	300 – 1000	1000 – 5000
L =	4 – 6	5 – 8	6 – 10	8 – 15	10 – 25

Межі інтервалів С_j, j=0,…,L установлюються, виходячи з довжини інтервалу, обчисленої за формулою

(7)

та округленою до значення, зручного для подальшого використання. Нижня межа першого інтервалу С₀ округлюється в менший бік, а верхня межа останнього С_L – у більший. Округлення довжини інтервалу d може привести до коригування їх кількості L.

Побудова гістограми розподілу зводиться до підрахунку кількостей даних N_j, які належать до кожного з вибраних інтервалів. Це робиться шляхом перегляду вибірки вручну чи за допомогою комп’ютера. Крайні інтервали, які містять мало даних, рекомендується об'єднати. Довжина об'єднаного інтервалу дорівнює сумі довжин, а кількість даних – сумі кількостей даних для інтервалів, що об'єднуються. Бажано, щоб у кожному інтервалі було не менше ніж 3–5 даних. Об'єднання інтервалів приводить до згладжування гістограми розподілу і таким чином дозволяє відмежуватися від випадкових коливань частот попадання до інтервалів при невеликих обсягах вибірок.

Імовірності попадання до кожного з інтервалів (частоти даних) P_j визначають діленням відповідних кількостей даних N_j на обсяг вибірки N:

. (8)

Густина ймовірності в кожному інтервалі є результатом ділення частоти P_j на довжину даного інтервалу :

. (9)

При цьому слід пам’ятати, що різні інтервали можуть мати різну довжину. Для побудови гістограми розподілу в середовищі табличного процесора EXCEL використовується функція ЧАСТОТА(список, C_J), яка обчислює кількість даних в області „список”, менших за задану межу j–того інтервалу C_J.

Продовжуючи попередній числовий приклад, збудуємо гістограму розподілу часу, витраченого студентами на виконання курсової роботи. При N=20 даних приймаємо 6 інтервалів, довжина яких згідно з формулою (7) дорівнює d=(31-13)/6=3,0 години. Встановивши межі інтервалів C_J кратними 3 годинам, отримуємо 7 інтервалів в межах від C₀=12 до C₇=33 годин. Обчислення, необхідні для побудови гістограми розподілу, виконані в таблиці

Номер інтервалу J	Кінець інтервалу Cj	Nj	Pj	fj	fjt
1	15	2	0,10	0,0333	0,0383
2	18	3	0,15	0,0500	0,0696
3	21	5	0,25	0,0833	0,0846
4	24	4	0,20	0,0667	0,0687
5	27	3	0,15	0,0500	0,0373
6	33	3	0,15	0,0250	0,0033

Оскільки до останнього, сьомого інтервалу потрапив усього один елемент вибірки, цей інтервал об’єднаний із шостим, довжина якого таким чином зросла до 6 годин. Обчислені за формулами (8) і (9) значення ймовірності попадання P_j та густини розподілу f_j для кожного з шести інтервалів також наведені в таблиці.

Рис. 4 Гістограма розподілу часу, витраченого на виконання курсової роботи

Графічне зображення гістограми, приклад якого за даними таблиці наведено на рисунку 4, дозволяє наочно виявити характер густини розподілу випадкової величини. Вздовж осі абсцис відкладені кінці інтервалів Сj, тобто значення самої випадкової величини, а вздовж осі орди-нат – обчислені за формулою (9) значення густини ймовір-ності fj.

Із рисунка 4 видно, що отримана гістограма має досить симетричний пагорбоподібний вигляд. Найімовірнішими є значення часу від 15 до 27 годин.