19 Імовірнісне оцінювання та нормування розрахункових параметрів

Закон розподілу випадкової величини дозволяє розв’язувати ряд практично корисних завдань, одним із яких оцінювання ймовірності попадання випадкової величини X до заданого інтервалу [a, b] через відому функцію розподілу F(x) чи густину ймовірності f(x):

. (17)

На практиці часто зустрічаються випадки, коли необхідно визначити ймовірність виходу випадкової величини за встановлену односторонню межу. Вважаючи протилежну нижню чи верхню межу згаданого вище інтервалу [a, b] нескінченною, із загальної формули (17) легко отримати:

, (18)

. (19)

Загальні формули (17)–(19) виведені з визначення функції розподілу (4) та залежностей (6). Підставляючи до них конкретні вирази функції розподілу F(x), можна отримати робочі формули для розподілу Гумбеля

; . (19)

а також для експоненціального розподілу:

; . (20)

Для функції нормального розподілу, яка не має аналітичного виразу, ймовірність виходу випадкової величини за нижню чи верхню межу дорівнює

; , (21)

де F(a) і F(b) – значення функції нормального розподілу, визначене за таблицею через нормований аргумент (11).

Не менш важливою для практики є обернена задача, яку часто називають задачею нормування розрахункових значень досліджуваних параметрів технічних об’єктів чи природних явищ. Розрахунковим звичайно вважають граничне (максимальне чи мінімальне) значення досліджуваного параметра, ймовірність виходу за яке можна вважати досить малою. Ймовірність протилежної події, тобто збереження параметра в бажаних межах, називають забезпеченістю розрахункового значення. Так, класом міцності бетону вважається нижня межа міцності на стиск із забезпеченістю 0,95. Це означає, що міцність 95% випробуваних зразків перевищує значення класу бетону, а міцність 5% зразків може відхилятися від нього в небезпечну, меншу сторону. Нормативні і розрахункові значення навантажень на будівельні конструкції, навпаки, приймаються рівними верхній межі навантаження із забезпеченістю, близькою до одиниці.

Підставивши функцію експоненціального розподілу (15) до (19) і прологарифмувавши отриманий вираз, визначаємо верхню межу випадкової величини із забезпеченістю F :

. (22)

Підстановка функції розподілу Гумбеля (13) до (19) і подвійне логарифмування одержаного виразу дає формулу для обчислення верхньої межі випадкової величини із забезпеченістю F :

. (23)

Нижня й верхня межа нормально розподіленої випадкової величини із забезпеченістю F обчислюються за формулами

; , (24)

де M і S – математичне сподівання та стандарт;

t – нормований аргумент (11), визначений за таблицею для заданого значення функції нормального розподілу.

Нехай в умовах розглянутого вище прикладу навчальним планом на виконання курсової роботи відведено 24 години. Ймовірність того, що студент витратить на виконання роботи не більше від 24 годин, визначимо за формулою (21). Нормоване значення (11) випадкової величини витрат часу дорівнює . За таблицею нормального розподілу визначаємо F(0,645)=0,740. Це означає, що у відведений термін 24 години із завданням справляться 74% студентів.

Згідно з вимогами до вищих навчальних закладів IV рівня акредитації, абсолютна успішність повинна становити не менше ніж 90%. Отриманий результат 74% свідчить, що норма часу 24 години занижена і не відповідає здібностям реальних студентів та обсягу завдання. Для забезпеченості F=0,9 за таблицею нормального розподілу визначимо t=1,28. Відповідна норма часу визначається за формулою (24) як верхня межа випадкової величини витрат часу год. Установлення норми часу 27 годин забезпечить вчасне виконання курсової роботи 90% студентів.