22 Загальна схема математичного планування експерименту
Планування експерименту – комплексна процедура визначення кількості дослідів та умов їх проведення, достатніх для вирішення поставленого завдання. Експериментальні дослідження звичайно проводяться з метою дослідження впливу певних факторів на обрану результуючу функцію. Типовим прикладом може бути аналіз впливу ряду параметрів на несучу здатність конструкції чи дослідження залежності певної технічної характеристики композитного матеріалу від кількісного співвідношення його компонентів. При цьому може ставитися задача пошуку співвідношення факторів, при якому результуюча функція приймає необхідне значення (максимальне, мінімальне чи задане).
У найпростішому випадку одного впливаючого фактора для пошуку екстремуму результуючої функції досить провести декілька дослідів при різних значеннях цього фактора. При наявності декількох впливаючих факторів слід перебрати усі комбінації можливих значень цих факторів. Такий підхід, що називається повним факторним експериментом, може потребувати виконання значної, часом практично неможливої кількості дослідів. Наприклад, при п’яти значеннях трьох факторів слід провести 53=125 дослідів, а у випадку п’яти факторів кількість дослідів зростає до 55=3125.
Значне зменшення кількості дослідів досягається при застосуванні методів математичного планування експерименту [3, 5, 12], основна ідея яких полягає в заміні реальних залежностей результуючої функції від впливаючих факторів простими апроксимаціями. Цей принцип проілюстровано рисунком 7, на якому зображена залежність результуючої функції Y від впливаючого фактора, що змінюється в межах 1 X 9. Повний факторний експеримент із 9 випробувань при X = 1, 2, … 9 дав мінімальне значення Ymin=3 при Xopt=4. План другого порядку передбачає апроксимацію дослідженої залежності квадратною параболою, для чого досить провести три досліди при середньому і граничних значеннях впливаючого фактора X = 1, 5, 9. Вважаючи мінімум отриманої параболи шуканим оптимальним рішенням, приймаємо Ymin=3,9 при Xopt=4,6. Таким чином, при незначному відхиленні від реального оптимуму вдалося скоротити кількість дослідів з 9 до 3. Зростання кількості впливаючих факторів приводить до ще більшого скорочення (у десятки і сотні разів) обсягів багатофакторних планованих експериментів порівняно з повними.
Рис. 7. Результати повного факторного та запланованого експерименту
Планування і проведення факторних експериментів зводиться до наступної процедури, детально описаної в [3, 5, 12] та інших джерелах:
вибирається порядок плану (при першому ведеться апроксимація лінійними функціями, при другому – квадратними параболами);
визначаються абсолютні межі варіювання й відносні рівні кожного фактора (мінімальний –1, середній 0, максимальний +1);
вибирається вид плану і за [3, 5, 12] складається матриця планування, кожен рядок якої визначає один дослід і містить значення рівнів усіх факторів;
згідно з матрицею планування готуються зразки і проводяться випробування чи вимірювання значень результуючої функції;
за методикою [3, 5, 12] виконується статистична обробка результатів, яку можна реалізувати в середовищі табличного процесора EXCEL чи іншої математичної програми.
У результаті статистичної обробки отримуємо параметри Ai лінійної (для планів першого порядку) чи квадратичної (для планів другого порядку) залежності результуючої функції від впливаючих факторів. Так, для двохфакторного плану другого порядку можна отримати
, (29)
де X1, X2 – значення обох факторів;
A0 – A5 – параметри, одержані в результаті обробки.
Залежності типу (29) дозволяють аналізувати поведінку дослідженої системи, оцінюючи значення результуючої функції при різних комбінаціях значень впливаючих факторів. Можна також розв’язувати обернену задачу пошуку оптимальної комбінації факторів, що відповідає заданому значенню результуючої функції, наприклад, установити співвідношення кількостей компонентів, яке забезпечує максимальну міцність композитного матеріалу.