17 Поширені закони розподілу випадкових величин

Отримані вище числові характеристики і гістограма розподілу вибірки дозволяють описати дослідні дані теоретичним законом розподілу. Для цього необхідно вибрати його вид, визначити параметри та перевірити узгодженість із дослідною гістограмою. Вид теоретичного розподілу вибирається з урахуванням фізичного обґрунтування досліджуваного явища й вигляду гістограми, а додатковим свідченням його придатності може служити співвідношення числових характеристик. Параметри вибраного закону розподілу визначаються за методом моментів, який забезпечує рівність числових характеристик теоретичного розподілу та проаналізованої вибірки. Із величезної кількості відомих законів розподілу розглянемо три, які дуже часто вживаються в технічних дослідженнях: нормальний, Гумбеля й експоненціальний.

Нормальний закон розподілу (розподіл Гауса) є граничним розподілом, до якого наближається сума багатьох випадкових величин. Випадкові величини, які формуються в результаті впливу багатьох випадкових факторів, часто бувають розподілені за нормальним законом. Саме цим і пояснюється його широке застосування в різноманітних галузях науки та техніки.

Графіки густини нормального розподілу, приклад якого зображений на рисунку 4, мають симетричний пагорбоподібний вигляд і задаються формулою

, (10)

де M і S – математичне сподівання (середнє значення) й стандарт, одержані в результаті статистичної обробки вибірки.

Функція нормального розподілу F(t) аналітичного виразу не має і визначається за таблицями [1, 5] залежно від нормованого значення випадкової величини

. (11)

Ці ж таблиці дозволяють розв’язувати обернену задачу: визначати нормований аргумент t за заданим значенням функції розподілу F(t). При використанні таблиць слід пам'ятати, що . Для обчислень на комп'ютері з використанням табличного процесора EXCEL можна також скористатися статистичними функціями НОРМРАСП(X, M, S) і НОРМОБР(F, M, S).

Закон розподілу Гумбеля (подвійний експоненціальний розподіл) є граничним розподілом максимального елемента вибірки випадкової величини, чим пояснюється його широке застосування для опису екстремальних значень різних величин. Густина та функція розподілу Гумбеля дорівнюють

; (12)

, (13)

Де  і  – параметри, які наближено визначаються за формулами

; . (14)

Область визначення розподілу Гумбеля нескінченна, а зображений на рисунку 3 графік густини ймовірності має постійну правосторонню асиметрію з коефіцієнтом асиметрії A=1,14.

Експоненціальний закон розподілу широко вживається в теорії масового обслуговування, теорії надійності та в інших галузях науки. Він визначений в області додатних дійсних чисел із густиною і функцією розподілу

; , (15)

де – параметр, обернено пропорційний математичному сподіванню.

Рис. 5 Густина експоненціального розподілу при М=2, =0,5

Приклад густини експоненці–ального розподілу наведено на рисунку 5. Розподіл визначений при X>0, а найімовірнішими є значення випадкової величини, близькі до нуля. Характерною особливістю експоненціального розподілу є постійні значення його коефіцієнта варіації V=1 та коефіцієнта асиметрії A=2.