20 Кореляція і лінійна регресія випадкових величин
Об’єкти досліджень часто описуються сукупністю декількох ознак, які відображають різні властивості одного й того ж об’єкта. Наприклад, кожен зразок будівельного матеріалу має певну середню густину, пористість, водопоглинання, границю міцності на стиск і на згин та інші технічні характеристики. Всі ці показники є випадковими величинами, значення яких змінюються від зразка до зразка, але при цьому можуть бути взаємно залежними. Очевидно, що при збільшенні пористості зростає водопоглинання, але зменшуються середня густина та границя міцності матеріалу.
Розглянемо дві випадкові змінні X і Y, отримані в результаті парного експерименту. Якщо між ними існує функціональна залежність, то кожному конкретному значенню X відповідає конкретне детерміноване (точно визначене) значення Y. Стохастична залежність полягає в тому, що конкретному значенню X відповідає ряд випадкових значень Y, які мають певний статистичний розкид. Якщо набір можливих значень випадкової величини Y змінюється при зміні значень X, такі випадкові величини називають залежними. Так, маса тіла студента не залежить від порядкового номера у списку групи, але залежить від його віку та зросту.
Результати парного експерименту можна зобразити графічно, відклавши вздовж однієї осі значення випадкової величини X, а вздовж іншої – значення Y. Кожна пара даних, яка характеризує один і той же об’єкт (зріст і маса тіла певної людини, середня густина та межа міцності зразка легкого бетону тощо), утворює на графіку одну точку. За таким графіком можна орієнтовно встановити наявність і характер залежності між проаналізованими величинами.
Статистичною мірою тісноти лінійного (або близького до лінійного) зв’язку між двома випадковими величинами є коефіцієнт кореляції, який обчислюється за формулою
, (25)
де N – обсяг кожної з вибірок;
Xi і Yi – відповідні елементи вибірок, які відображають результати парного експерименту для одного і того ж об’єкта;
MX і MY – оцінки математичних сподівань (середні значення) обох вибірок;
SX і SY – оцінки стандартів обох вибірок.
При статистичній обробці даних в середовищі табличного процесора EXCEL коефіцієнт кореляції зручно обчислювати з використанням функції КОРРЕЛ(масив_X; масив_Y).
За значенням коефіцієнта кореляції можна судити про наявність і характер зв’язку між випадковими величинами. Коефіцієнт кореляції незалежних випадкових величин, зображених на рисунку 6 а, наближається до нуля. Відмінність коефіцієнта кореляції від нуля свідчить про наявність зв’язку між випадковими величинами, а його близькість за модулем до одиниці – про близькість цього зв’язку до лінійного функціонального. При RXY>0 (рисунок 6 б) збільшення величини X викликає зростання Y, а при RXY<0 (рисунок 6 в), навпаки, більшим значенням X відповідають менші Y.
Рис. 6. Приклади залежностей між випадковими величинами
Якщо між проаналізованими величинами існує досить тісний зв’язок (при значеннях коефіцієнта кореляції |RXY|>0,7), залежність між ними можна описати рівнянням лінійної регресії виду
.
(26)
Параметри A, B апроксимуючої лінійної функції (26) визначаються методом найменших квадратів, який забезпечує мінімум суми квадратів відхилень дослідних значень Y від апроксимуючої прямої (26). Для цього вони обчислюються за формулами
;
, (27)
усі позначення яких відповідають формулі (25). При використанні табличного процесора EXCEL параметри лінійного рівняння регресії (26) можна безпосередньо обчислити за формулами (27) або отримати на побудованій діаграмі типу „точечная”, виконавши команду „вставить линию тренда”.
Із рисунків 6б і 6в видно, що апроксимуючі прямі (26) описують дослідні залежності „у середньому”. Реальні дослідні значення Y випадковим чином відхиляються від апроксимуючої прямої. Величина розкиду зменшується до нуля при зростанні модуля коефіцієнта кореляції до одиниці, що відповідає перетворенню стохастичної залежності в функціональну.