9. Расчет статически неопределимой арки

Рис. 29

Задание. Для двухшарнирной арки или арки с затяжкой (рис. 29) с выбранными по шифру из табл. 9 размерами и нагрузкой, требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.

Таблица 9

50

Методические указания

Решению задачи должно предшествовать изучение темы 9.

При вычерчивании оси арки необходимо руководствоваться ука­заниями к задаче 2 (см. с. 36). В целях сокращения объема вы­числительной работы можно ограничиться рассмотрением лишь шести точек оси арки, включая сюда я два опорных шарнира.

Особенностью расчета арок методом сил является невозможность применения способа Верещагина для определения единичных и гру­зовых перемещений, входящих в канонические уравнения. Прямое интегрирование формулы Мора, как правило, оказывается невоз­можным из-за сложности закона изменения сечения арки по длине. Таким образом интегрирование приходится заменять суммировани­ем по участкам со средними значениями величин, входящих в фор­мулу Мора:

Наиболее удачной основной системой для двухшарнирной арки следует считать кривой брус, приняв за неизвестное горизонтальную реакцию в одной из опор (распор); для арки с затяжкой за неизве­стное обычно принимают усилие в затяжке.

Подсчет коэффициентов и свободных членов удобнее проводить в табличной форме, построив предварительно эпюры М_р и Q₀ в ос­новной системе. При указанных основных системах такими эпюрами будут эпюры М и Q для балки на двух опорах.

Форму сечения арки следует принять прямоугольной с высотой, меняющейся по закону

d = d_С cos,

где d_c — высота сечения посредине.

В первую очередь вычисляются ординаты исследуемых точек оси арки и угловые характеристики касательных в данных точках. В зависимости от заданного очертания (парабола или окружность) рекомендуется следующая форма таблиц:

51

а) при очертании оси по параболе

б) при очертании оси по окружности

Продолжение табл.

Продолжение табл.

Е сли делить ось арки на -участки с равными величинами их про­екций Δх, то и вынося за знак суммы величину EI₀, получим в каждом слагаемом множитель

О тношение

52

Т аким образом, в продолжение расчетной таблицы войдут величины

для каждого из выбранных сечений.

Если неизвестная горизонтальная реакция в одной из опор на­правлена внутрь пролета, то сумма величин, входящих в графу 15, даст свободный член канонического уравнения со знаком минус. Сумма величин графы 13 дает величину _1,1.

П ри проверке сумма величин, подсчитанных в графе 18, для двухшарнирной арки должна быть равна нулю, а для арки с затяжкой величине

Д ля арки с затяжкой, где неизвестным является усилие в затяж­ке, необходимо еще учесть деформацию затяжки, работающей на растяжение, т. е. к сумме величин графы 13 надо добавить величину

где Е₃ и F₃ модуль упругости и площадь сечения затяжки.

В расчете следует принять, что

Итак, для арки- с затяжкой коэффициент при Х₁ будет:

Определив неизвестное по формуле

можно подсчитать ординаты окончательной эпюры М, а также эпюр Q и N, что тоже удобнее проводить в табличной форме.