1. Випадкові вектори

1.1 Означення випадкового вектора

Якщо кожний наслідок випробування задається упорядкованою сукупністю випадкових величин, то прийнято говорити про вимірний випадковий вектор. Виявляєьтся, що для повного опису випадкового вектора потрібно мати не тільки інформацію про розподіл його координат.а й про їх взаємодію.

Наведемо приклади випадкових векторів: 1)точка попадання у плоску мішень характеризується випадковим вектором , де та кординати точки попадання в системі кординат, розміщеній у площині мішені. 2) стан будь-якого виду транспорту характеризується сукупністю випадкових величин.

У подальшому мова найчастіше йтиме про двовимірний випадковий вектор .

1.2 Дискретний випадковий вектор

Якщо обидві кординати вектора є дискретними випадковими величинами, то вектор називають дискретним випадковим вектором. Дискретний випадковий вектор задається набором значень та ймовірностями з якими ці значення приймаються. Дискретний випадковий вектор, як правило задають таблицею розподілу. Ясно, що сума всіх ймовірностей дорівнює одиниці.

			...
			...
...	...	...	...	...
			...

У таблиці розподілу випадкового вектора містицься вся інформація про нього. Зокрема, ця таблиця дозволяє знайти розподіл координат вектора.

Оскільки подія складається з суми попарно несумісних подій , , ... , то щоб одержати розподіл ймовірностей випадкової велчини потрібно просумувати ймовірності ,

які стоять у -му рядку таблиці.

(1)

При сумуванні ймовірностей по стовпцях знаходимо розподіл ймовірностей випадкової величини .

	-2	-1	2
0	0.15	0.05	0.25
1	0.35	0.2	0

Приклад 1 Знайти розподіл координат випадкового вектора , заданного таблицею розподілу.

Розв’язання.

На підставі формули (1) одержимо розподіли координат та .

	0	1
	0.45	0.55

	-2	-1	2
	0.5	0.25	0.25

Виникає запитання: чи завжди можливо за розподілом координат знайти розподіл вектора? Виявляється, шо відповідь на це питання негативна.

Введемо подібно до умовної ймовірності поняття умовного розподілу

(2)

Випадкові величини X та У називаються незалежними тоді, коли при всіх значеннях та справедливі співвідношення

. (3)

Випадкові величини та незалежні тоді і тільки тоді, коли при всіх значеннях та виконується рівність

(4)

( )

Іншими словами, двовимірний розподіл вектора відновлюється по одновимірних розподілах його координат лише у тому випадку, коли координати вектора є незалежними випадковими величинами.

Приклад 2. В умовах прикладу 1 знайти умовні розподіли та з'ясувати питання про те. чи є випадкові величини Х та У залежними.

Розв'язання. На підставі формули (2) знайдемо умовний розподіл при :

.

Аналогічно одержуємо умовний розподіл при та . .

.

Випадкові величини X та У є залежними, наприклад, тому що .