2.7 Перевірка гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції

Нехай випадковий вектор (X;Y) має розподіл Гауса і – вибірковий коефіцієнт кореляції, вирахуваний по вибірці об’єму n. Виникає важливе питання про те, чи можна по величині цього коефіцієнта робити висновок про кореляційний зв’язок між величинами X та Y (значущість величини вибіркового коефіцієнта кореляції ).

Проведемо перевірку простої гіпотези H₀: r=0 проти складної альтернативи H₁: r0. Побудова правила прийняття рішення грунтується на тому, що випадкова величина

T((X₁;Y₁);…;(X_n;Y_n)) = , де

(статистика оцінка кореляційного моменту) при справедливості основної гіпотези має розподіл Стьюдента з к=n–2 степенями свободи.

Гіпотеза H₀ перевіряється як і у розділі 6 (випадок 1)

Приклад 5. Випадковий вектор (X;Y) розподілений за законом Гауса. Вибірковий коефіцієнт кореляції , обчислений по виборці об’єму n=32, дорівнює 0.51. Перевірити при рівні значущості  = 0.05 гіпотезу H₀: r=0 при конкуруючій гіпотезі H₁: r0.

Розв’язання. 1)  = 0.05; 2) за таблицею 2 по та =n–2=30 знайдемо =2.04, -2.04) (2.04; .; 3) обчислюємо вибіркове значення статистики T= = =3.25; 4). . Гіпотеза H₀ відхиляється на рівні значущості 0.05 і, таким чином, вибірковий коефіцієнт кореляції значимо (суттєво) відрізняється від нуля.

2.8 Критерій згоди 2 (хи-квадрат)

Розглянемо випадкову величину X, функція розподілу якої F_X (x) невідома. Висунемо гіпотезу H₀, яка полягає в тому, що F_X (x)=F₀(x), де F₀(x) – деяка функція розподілу. Конкуруюча гіпотеза H₁ полягає в тому, що не виконується основна. Проведемо n незалежних вимірювань випадкової величини X. Їх результатом буде конкретний вектор (x₁; x₂;...; x_n). Тепер виникає запитання, наскільки добре узгоджуються дані вимірювань з гіпотезою H₀. Відповідь на це запитання одержуємо за допомогою критеріїв згоди, найпоширенішим з яких є критерій ².

Розіб’ємо числову вісь на r проміжків, які не перетинаються:

(– = a₀; a₁), [a₁; a₂), [a₂; a₃),…, [a_r-1; a_r = +) . Нехай p_i (i = 1,…, r) ­– теоретична (передбачена) ймовірність попадання випадкової величини X у i–тий проміжок, якщо справедлива гіпотеза H₀ :

.

Позначимо через n_i кількість елементів вибірки, що попали у i–тий проміжок (n_i – випадкова величина, яка змінюється від вибірки до вибірки). Близькість частоти n_i/n до теоретичної ймовірності p_i, передбаченої гіпотезою H₀, свідчить на користь узгодження гіпотези H₀ з результатом експерименту. За міру відхилення передбаченого закону розподілу F₀(x) від істинного

приймається випадкова величина

.

Якщо для всіх проміжків, крім крайніх, виконана умова np_i   5, а для крайніх np_i  1, то випадкова величина ² при n має розподіл ² з r–1 ступенями свободи. Для перевірки гіпотези H₀ : 1.Задамо рівень значущості .

2. Знайдемо за таблицею 3 додатка число =²_r–1() та критичну область (вона завжди правостороння) =( ;+ ). Число =²_r–1() визначається з рівняння P{²  ²_r–1()} = .

3.Позначимо як обчислене по конкретній вибірці (x₁; x₂;...; x_n) значення випадкової величини ².

4. Якщо =( ;+ ), то гіпотеза H₀ відхиляється (подія {²  ²_r–1()} є практично неможливою у даній серії вимірювань, якщо гіпотеза H₀ насправді вірна). Якщо ж =( ;+ ), то гіпотеза H₀ приймається (гіпотеза H₀ не суперечить результатам експерименту).

У випадку, коли по вибірці знаходяться s параметрів розподілу F₀(x), то =²_r–1() потрібно замінити на ²_r-s–1().

Приклад 1.Нехай є вибірка деякої випадкової величини Х у вигляді інтервального варіаційного ряда. По крітерію згоди (Пірсона) перевірити гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини Х для рівня значущості =0.01.

( )	(15;19)	(19;23)	(23;27)	(27;31)	(31;35)
	45	125	175	115	40

=500.

Розв’язання.1. Обчислюється -вибіркове середнє по сгрупо-ваним даним. Нехай - середини розрядів (інтервалів).

=

= =24.84

2. - вибіркова дисперсія по сгрупованим даним: = (45 289 +125 441+175 625+ 115 841+40 1089-500 )=(13005+55125+109375+96715+

+43560-308512.8)/499= =18.57; S 4.3.

3. ; .

Обчислюємо : =- ; = =-1.36; = =-0.43;

= =0.50; = =1.43; = =2.49; = .

Знайдемо ймовірності : =Ф(-1.36)-Ф(- )=0.08; =Ф(-0.43)-Ф(-1.36)=0.25; =Ф(0.50)-Ф(-0.43)=0.36; =Ф(1.43)-Ф(0.50)=0.23; =Ф( )-Ф(1.43)=0.08. Обчислення оформимо у вигляді таблиці.

( )		( )	Ф( )	Ф( )
(15;19)	45	(- ;-1.36)	-0.42	-0.5	0.08	40	25/40
(19;23)	125	(-1.36;-0.43)	-0.17	-0.42	0.25	125	0
(23;27)	175	(-0.43;0.5)	0.19	-0.17	0.36	180	25/180
(27;31)	115	(0.5;1.43)	0.42	0.19	0.23	115	0
(31;35)	40	(1.43;+ )	0.5	0.42	0.08	40	0
	500					500	=0.76

= + = =0.76.

За таблицею 3 додатка знаходимо = =6.251. Відхилити гіпотезу H₀ немає підстав. Більш того, оскільки 0.76 набагато менше ніж 6.251, вірне припущення про справедливість гіпотези H₀.