2.4 Порівняння вибіркової середньої з математичним сподіванням нормальноі сукупності

На практиці часто потрібно оцінити, чи відповідають дійсності рекламні дані про параметри того чи іншого товару. В цьому випадку виникає задача порівняння вибіркової середньої з анонсованим значенням цього параметру.

Якщо дисперсія генеральної сукупності невідома, то в якості критерія перевірки нульової гіпотези обирають випадкову величину , де - вибіркове скв, - вибіркове середнє, - математичне сподівання. Статистика має розподіл Стьюдента з степенями свободи.

Приклад 1. Постачальник добрив стверджує, що застосування нової партії добрив забезпечує врожайність пшениці (математичне сподівання) =65ц/га. Добрива внесли на площі в 60га та одержали врожай 58ц/га при вибірковому скв 4ц/га. При =0.05 оцінити справедливість тверджень постачальника.

Розв’язання. Припускається, що врожайність нормально розподілена випадкова величина. Перевіряється гіпотеза про чисельне значення математичного сподівання при невідомій дисперсії. Нульова гіпотеза : =65 при альтернативній гіпотезі

: <65. За алгоритмом розділу 3:

1) =0.05; 2) критична область знаходиться з умови

за таблицею 2: -1=59, =- =-1.67, .

3) гіпотеза відхиляєть-ся.Постачальник перебільшив у рекламі гіпотетичну врожайність.

2.5 Порівняння двох дисперсій нормальної генеральної сукупності

По незалежним виборкам , об’єми яких та , добутим із нормальних генеральних сукупностей, знайдені вибіркові дисперсії та . Треба порівняти генеральні дсперсії та . Для перевірки нульової гіпотези : = при альтерна-

тивній : > ( : ) застосовують критерій

(1)

відношення більшої з вибіркових дисперсій та до меньшої.

1. Алгоритм розділу 3 для випадку альтернативної гіпотези

: > є такий:

1) призначити рівень значущості ;

2) за таблицею 4 по заданому та числам ступенів свободи , ( - число ступенів свободи ) знайти

та ;

3) за формулою (1) знайти ;

4) Якщо , то нульову гіпотезу відхиляють, якщо , то приймають.

2. Випадок альтернативної гіпотези : відрізняється від попереднього тільки тим що визначають по рівню значущості з тими ж ступенями свободи та , тобто, .

Приклад 2. По двом незалежним виборкам, об’єми яких =9 та =6, добутим із нормальних генеральних сукупностей, знайдені вибіркові дисперсії = 16.2, = 24.6. При =0.1 перевірити гіпотезу : = при альтернативній гіпотезі : .

Розв’язання. 1) =0.1. 2) За таблицею 4 визначаємо = (0.05, 5, 8) = 3.69, =(3.69; + ). 3) За формулою (1) . 4). нема підстав відхилити гіпотезу .

2.6 Порівняння середніх двох гаусових сукупностей

На практиці часто зустрічається випадок, коли середній результат однієі серії експериментів відрізняється від середнього результату іншої серії. При цому виникає питання, чи можна пояснити виявлений розбіг середніх неминучими помилками експерименту, або він визваний деякими закономірностями. У промисловості задача порівняння середніх виникає при вибірковому контролі якості виробів, вироблених на різних установках, аба при різних технологічних режимах, а у фінансовому аналізі - при порівнянні рівня доходності різних активів.

Нехай (X₁;…; X_n) – теоретична вибірка із закону Гауса N(a_X;σ_X²), а (Y₁;…;Y_m)  – із закону N(a_Y;σ_Y²). Параметри законів a_X, σ_X², a_Y, σ_Y² невідомі.

Випадок 1. Розглянемо таку пару гіпотез: H₀: a_X = a_Y, H₁: a_X   a_Y, припускаючи що σ_X = σ_Y. Побудова правила прийняття рішення грунтується на тому, що випадкова величина

T(X₁,…, X_n; Y₁,…, Y_n) = , де (1)

при справедливості основної гіпотези H₀ розподілена за законом Стьюдента з n+m–2 ступенями свободи.

Перевірка гіпотези за правилом п.3: 1)-2) знаходиться по заданому рівню значущості , який стоїть у верхньому рядку таблиці 2 та числу ступенів свободи =n+m–2. Область .3)-4) Якщо обчислене , то гіпотеза H₀ відхиляється, якщо , то приймається.

Випадок 2. При конкурюючій гіпотезі H₁: a_X > a_Y значення знаходиться по заданому рівню значущості , який стоїть у нижньому рядку таблиці 2. . Далі, як у випадку 1.

Випадок 3. При конкурюючій гіпотезі H₁: a_X < a_Y значення знаходиться як і у випадку 2. Оскільки щільність розподілу Стьюдента парна функція, то =- та критична область . Далі перевірка, як і у випадку 1.

Приклад 3. Середній щоденний об’єм продажу за 1-й квартал поточного року для 17 торгових підприємств району А складає 15 тис. гр. од. при вибірковому скв =2.5 тис. гр. од., а для 10 торгових підприємств району В - 13 тис. гр. од. при вибірковому скв =3 тис. гр. од. Вважається, що кожна група продажу – вибірка з гаусової генеральноі сукупності. Чи істотна різниця в об’ємах продажу в районах А та В при рівні значущості 0.05?

Розв’язання. Виникла задача перевірки нульової гіпотези гіпотези H₀: a_X = a_Y при альтернативній гіпотезі H₁: a_X   a_Y . 1) =0.05; 2) =n+m–2=17+10-2=25. За таблицею 2 одержимо =2.06, -2.06) (2.06; . 3) За формулою (1) .

; 4) , гіпотеза H₀ приймається (не суперечить результатам спостережень).

Приклад 4. В умовах задачі з прикладу 3 з’ясувати, чи істотно перевищення об’єму продажу в районі А у порівнянні

з об’ємом у районі В при рівні значущості 0.05?

Розв’язання. Питання даної задачі відрізняється від питання задачі з прикладу 3 тим, що альтернативною до гіпотези H₀: a_X = a_Y буде гіпотеза H₁: a_X > a_Y. В цьому випадку критична область одностороння (зокрема, правостороння). 2) Для =25 та 0.05 за таблицею 2 знайдемо =1.708 та (1.708; ; 3) =1.87; 4) . Гіпотеза H₀ відхиляється.