Ход занятия: Предел числовой последовательности.

Рассмотрим для числовые последовательности – (у_n) и (x_n).

(у_n): 1, 3,5, 7, 9, … 2n – 1, …;

(x_n): 1,

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой.

0 1 3 5 7 9 11 у

0 0,25 0,5 1

Замечаем, что члены последовательности (x_n) как бы «сгущаются» около точки 0 – говорят последовательность сходятся , а у последовательности (у_n) такой точки сгущения нет – и говорят, что последовательность расходится.

Математики не используют термин точка сгущения, а они говорят предел последовательности.

Определение: Число b называется пределом последовательности (у_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут так: у_n→b или читают так: предел последовательности у_n при стремлении n к бесконечности равен b.

На практике используется еще одно истолкование равенства , связанное с приближенными вычислениями: если последовательность у_n = f(_n) сходится к числу b, то выполняется приближенное равенство f(_n)≈b, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.

Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.

Достаточное условие сходимости последовательности.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. (теорема К.Вейерштрасса)

Свойства сходящихся последовательностей

1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Если , то последовательность у_n= qⁿ расходится.

Теоремы о пределах последовательностей.

1. 

2. Если

3. Если , то

4. Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:

5. Предел суммы равен сумме пределов:

6. Предел произведения равен произведению пределов:

7. Предел частного равен частному пределов: , где с≠0.

8. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Нахождение пределов последовательности:

Найти предел последовательности:

а) х_n = б) х_n = в)

Решение: а) применив правило «предел произведения», получим:

б) применим правило «предел суммы» и получим:

в) в подобных случаях применяют искусственный прием: делят числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n² . Имеем: (здесь мы применили правило «предел дроби»).

Пределы функций. Нахождение пределов функции в точке и на бесконечности.

Теория пределов позволяет определить характер поведения функции у = f(x) при заданном изменении аргумента.

Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки х =х₀, за исключением, быть может, самой точки х₀.

Число А называется пределом функции f(х) в точке х₀, если для любого числа >0 найдется такое положительное число , что для любого х х₀, удовлетворяющего неравенству | х - хо | < , выполняется соотношение | f(x) - А | <

То, что функция f(x) в точке х₀ имеет предел, равный А, обозначают следующим образом:

Геометрически существование данного предела означает, что каково бы ни было >0, найдется такое число , что для всех х, заключенных между х₀ + , и х₀ - (кроме, быть может, самой точки х_с), график функции у = f(x) лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А + и у = А- (рис.1)

Рисунок 1

Таким образом, понятие предела функции дает возможность ответить на вопрос, к чему стремятся значения функции, когда значения аргумента стремятся к х₀

Число А называют пределом функции f(x) при х, стремящимся к х₀, если разность f(x) - А по абсолютной величине есть величина бесконечно малая.

Понятие бесконечно малой величины.

В природе существует много таких переменных величин, кото­рые в процессе своего изменения неограниченно приближаются к нулю. Таким величинам присвоено специальное название -"бесконечно малые" величины.

Переменная величина х_п называется бесконечно малой, если она в процессе изменения становится и затем остается по абсолютной величине меньше любого, наперед заданного, сколько угодно малого положительного числа, т.е. х_п < ( - эпсилон). Рассмотрим колебание математического маятника.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на тонкой, невесомой, нерастяжимой нити.

Пусть в начальный момент времени маятник отклонен от положения равновесия на угол = 15°. Если маятник отпустить, то он будет совершать колебания. Из-за сопротивления среды амплитуда колебания маятника будет постепенно уменьшаться; поэтому какое бы положительное число ни было задано, угол по абсолютной величине станет и впредь будет оставаться меньше .

Следовательно, угол в данном процессе является бесконечно малой величиной.

Примерами бесконечно малой величины являются: масса тающей в воде льдины, разность уровней однородной жидкости в сообщающихся сосудах и т.д.

Пусть задана числовая последовательность а_n, n N. Тогда последовательность S_n = а₁+ а₂+а₃+…+а_n = , n N называется числовым рядом и обозначается а₁+ а₂+а₃+…+а_n + … или .

Числа а_1, а_{2, …} называется членами ряда , соответственно первым, вторым и т.д.; а_n называется n – м или общим членом ряда

Ряд а_n+1+ а_n+2+ а_n+3+… = называется n – _м остатком ряда

Согласно определению ряды – это особый вид последовательностей, поэтому можно говорить о сходимости и расходимости рядов.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится.

Если последовательность частичных сумм ряда расходится, то он называется расходящимся.

Ряд а₂+а₃+…+а_n + … или .называется сходящимся, если существует предел

Этот предел называется суммой ряда а₂+а₃+…+а_n + … или .

Если ряд а₂+а₃+…+а_n + … или сходится и Ы – его сумма, то будем писать

Теорема 1. Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится. Если какой–нибудь остаток ряда сходится, то и ряд сходится.

Теорема 2. Если ряды с общими членами а_n и b_n сходятся и , , то для любых чисел α и β ряд с общим членом с_n = αa_n и βb_n сходится и

Пример:

Решение:

Общий член этого ряда имеет вид

с_n =

Ряды с общими членами а_{n = и} b_{n =} сходятся и

,

В силу теоремы 2 данный ряд сходится и

Теорема 3. (необходимое условие сходимости ряда)Если ряд с общим членом а_n сходится, то а_n при n .