1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих значений.

Если случайная величина X характеризуется конечным рядом распределения:

,

то математическое ожидание М (X) определится по формуле

M(X) = x₁p₁+-x₂ p₂+...+x_n p_n, или

Понятие математического ожидания распространяется и на непрерывную случайную величину.

Пусть f(x) — плотность вероятности случайной величины X. Тогда математическое ожидание непрерыв ной случайной величины X определяется равенством

(при условии, что значение этого интеграла конечно).

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсия случайной величины есть мера рассеяния ее значений около ее математического ожидания.

Само слово дисперсия означает «рассеивание».

Если ввести обозначение М (Х) = т, то формулы для вычисления дисперсии примут следующий вид:

а)для дискретной случайной величины X:

б) для непрерывной случайной величины X:

Для дисперсии случайной величины, справедлива формула

где а—произвольное число.

Этой формулой часто пользуются для вычисления дисперсии случайной величины, так как вычисление по этой формуле обычно проще, чем по формулам а) и б).

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется величина

Пример №1. Случайная величина X характеризуется рядом распределения:

Определить математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Находим математическое ожидание: М(Х) = 0-0,2+ 1-0,4 + 2-0,3 + 3-0,08 + 4.0,02 = 1,32.

Дисперсию найдем по формуле D(X) = M[(X—а)²] —М(Х)—а]², положив

а = 2; отсюда М(Х)—а = 1,32—2 = —0,68.

Составляем таблицу:

Теперь находим

^Итак,

_{дисперсия} D (X) = 0,8966; отсюда _0,95.

_{Некоторые законы распределения дискретной случайной величины.}

_{Биноминальное распределение (формула Бернулли).}

_{В основе вывода формулы Бернулли лежит предположение, что вероятность появления события Х в испытании известна и не изменяется от испытания к испытанию.}

_{Обозначим эту вероятность через р. Тогда вероятность непоявления события Х обозначим через q и она равна q=1-р. Зная вероятность появления события в единичном испытании, найдем вероятность Рn(m) того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m раз.}

, где n! = 1·2·3·…·n – факториал числа n, причем 0! = 1.

Данное выражение называется биноминальным распределением или формулой Бернулли.

Пример: появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается вероятностью р = 0,7. составить биноминальное распределение вероятностей появления колонии микроорганизмов в шести наугад взятых пробах.

Р = 0,7; q = 1-0,7 = 0,3; n = 6; m = 0,1,2,3,4,5,6.

Запишем распределение в виде таблицы:

Х	0	1	2	3	4	5	6
Р6(Х)	0,0007	0,01	0,057	0,18	0,32	0,3	0,11

Данное биноминальное распределение можно изобразить графически. Наибольшую вероятность имеет значение случайной величины примерно равное математическому ожиданию данной случайной величины. М(Х) = n·p = 6·0,7 = 4,2

Нормальное распределение.

При больших n использование формулы Бернулли связано с трудоемкими вычислениями (т.к., например, 20! - это число, состоящее из 19 цифр). В подобных случаях применяют формулу Лапласа – Гаусса, которая имеет вид: , где

е = 2,718 это распределение называют нормальным распределением.

Распределение Пуассона. Если вероятность появления в единичном испытании интересующего нас события очень мала, то при больших n биноминальное распределение переходит не в нормальное распределение, а в распределение Пуассона: Это распределение также называют законом распределения редких явлений.

Пример: пусть известно, что в ведре воды имеется 10000 бактерий. Вероятность нахождения бактерии в случайным образом выбранной капле р=0,001. найти распределение вероятностей количества бактерий Х в наугад взятой капле.

При хорошем перемешивании воды, в которой бактерии считаются точками, можно применить распределение Пуассона с параметрами M = np = 10000·0.001=10. вероятность того, что в капле не найдется ни одной бактерии, вычисляем по формуле:

. Вероятность того, что в капле будет 1,2,3 бактерии:

; ;

Закон распределения количества бактерий в наугад взятой капле можно представить в виде таблицы:

Х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Рn(X)10-4	0,5	5	25	83	188	375	625	892	1250	1428	1250	1030

Данное распределение Пуассона можно изобразить графически. Наибольшую вероятность имеет значение случайной величины примерно равное математическому ожиданию данной случайной величины. M = np = 10

Контрольные вопросы:

Сформулируйте определение случайной величины.

Какая случайная величина называется дискретной?

Сформулируйте закон распределения случайной величины.

Сформулируйте определение математического ожидания случайной величины.

Сформулируйте определение дисперсии случайной величины.

Сформулируйте определение среднего квадратичного отклонения случайной величины.

Домашнее задание

Заполните в рабочей тетради занятие 11-12.